第十章定积分的应用§1平面图形的面积1．求由抛物线与所围图形的面积。解设所围图形面积为S。如图10-1。解方程组，得两曲线两交点坐标为A(-1,1),B(1,1)，则积分区间为[-1，1]。图形面积为2.求由曲线与直线所围图形的面积。解设所围图形总面积为S,3.抛物线把圆分成两部分,求这两部分面积之比.解设分别表示被抛物线分割成的两部分圆面积,则:,..4.求内摆线所围图形的面积.解设所围图形的全部面积为S.取积分变量为t,当t由变到0时,就得到曲线在第一象限的部分.5.求心形线所围图形的面积.解设所围图形的面积为S.取积分变量为,当由0变到时,即得到曲线在x轴上方部分.由极坐标系下面积的积分表达式有:.6.求三叶形曲线所围图形的面积.解设三叶玫瑰线围成的区域面积为S,取积分变量为,当由变到时,就得到曲线在第一象限的部分的一半.(如图10-6).§2由平行截面面积求体积1.如图10-7所示直椭圆柱体被通过底面短轴的斜平面所截,试求截得的锲形体的体积.解设垂直与x轴的截面面积函数为A(x),立体体积为V.按图中的坐标系和数据可得出椭圆柱面的方程为:由相似三角形边长比的关系知所以,又A(x)=所以V=dx=-42.求下列平面曲线绕轴旋转所围成立体的体积.(1)解.(2)解.（3），绕极轴；解为心脏线方程，其极轴（x轴）之上部分的参数方程为..（4）绕y轴。解得，.3.已知球半径为r,验证高为h的球缺体积解设球缺体积为v,半径为r,高为h,则由旋转体体积公式有。§3平面曲线的弧长与曲率1.求下列曲线的弧长。（1）解由于,由曲线的弧长公式有.（2）解令，则由参数方程下弧长公式.（3）：解,,.(4)解(5)解（6）.解由极坐标下弧长公式.2.求下列各曲线在指定点处的曲率:(1)解因为所以.由曲率公式,曲线在(2,2)的曲率为:.(2)在点(1,0);解因为,,所以.(3).,;.由曲率公式有.(4).所以.5定积分在物理中的某些应用1有一等腰梯形闸门,上下两条底边长为10cm和6cm,高为20cm计算当水面与上底面相齐时闸刀门一侧所受的静压力.解如图,由B.C点的坐标(0,5)及(20,3)求出过BC的直线方程为:,即由于在相同深度处水的静压强相同.其值等于gx,故当很小时,闸门上从深度x到x+这一狭条上受的静压力为=2===14373.33(kN)
