第七章统计热力学【复习题】【1】设有三个穿绿色，两个穿灰色和一个穿蓝色制服的军人一起列队，（1）试问有多少种队形?（2）现设穿绿色制服的军人有三种不同的肩章，可从中任意选配一种佩带；穿灰色制服的军人有两种不同的肩章，可从中任选一种佩带；穿蓝色制服的军人有四种不同的肩章，可从中任选一种佩带，试问有多少种队形？【解析】（1）根据统计学原理，这相当于三个绿球二灰球和一个篮球的组合数。则可排列的队形种类为：（种）（2）若穿绿色制服的人有三种肩章，每人都可以戴一种，三个人有种戴法，同理，灰色和篮色制服的人分别使队形数增加和倍。所以，队形数＝【2】在公园的猴舍中陈列着三个金丝猴和两个长臂猿，金丝猴有红、绿两种帽子，可任意选戴一种，长臂猿可在黄、灰和黑三种帽子中选戴一种，试问在陈列时可出现多少种不同的情况，并列出计算公式。【解析】首先求金丝猴的陈列方式，把金丝猴和帽子一起排列，固定前面第一种帽子，第三个猴子和（2－1）种帽子的排列方式为，但3各金丝猴是相同的，所以要除以，同理也要除以，即金丝猴的排列方式为：同理，长臂猿的排列方式为：【解析】首先不考虑帽子的戴法，有种，金丝猴的帽子选择戴法有种，长臂猿的帽子选择戴法有种，所以所陈列的情况有：【3】设某分子有0，1ε，2ε，3ε四个能级，系统共有6个分子，试问（1）如果能级是非简并的，当总能量为3ε时，6个分子在四个能级上有几种分布方式？总的微观状态数为多少？每一种分布的热力学概率是多少？（2）如果0，1ε两个能级是非简并的，2ε能级的简并度为6。3ε能级的简并度为10。则有几种分布方式？总的微观状态数为多少？每一种分布的热力学概率是多少？【解析】（1）排列方式：能级01ε2ε3εti方式151＝6方式2411＝30方式333＝20所以，共有3种分布方式，方式1、方式2和方式2的热力学概率分别为6、30和20；总的微态数为56。每一种分布的热力学概率是：（2）排列方式：所以，共有3种分布方式，方式1、方式2和方式2的热力学概率分别为60、180和20；总的微态数为260。每一种分布的热力学概率是：【4】混合晶体可看作在晶格点阵中，随机放置NA个A分子和NB个B分子组成，试证明（1）分子能够占据格点的花样数为：（2）若，利用Stirling公式证明。（3）若，利用上式计算得，但实际上只能排出六种花样，这是为什么？【证明】（1）在晶格点阵中个A粒子是相同的，个B粒子亦是相同的，根据统计力学，在（）个物体种，有个相同，个也相同，则晶格点阵排列的热力学概率为：能级01ε2ε3εti方式151＝60方式2411＝180方式333＝20即应去掉将（）个微粒全排列后所重复的数目，故应除以。（2）由Stirling公式有，当时，由（1）即（3）由于应用Stirling公式，近似的条件是N为无穷大，即，而当中微粒数时，显然步满足该式的条件，所以计算结果与实际情况不符合。【5】欲做一个体积为1.0m3的圆柱形铁皮筒，试用Lagrange乘因子法，求出圆柱的半径R和柱高L之间呈什么关系时，所用的铁皮最少？并计算所用铁皮的面积。【解析】解法1：设所用铁皮面积为S，则，体积，在体积一定的条件下构造函数，，则由Lagrange乘因子法，有解之，所以，当L=2R，即圆柱的高为半径R的2不2时，铁皮的面积最小。又此时，解法2：由得，则当(即)时，【6】设可视作理想气体，并设其各个自由度均符合能量均分原理。已知的的，试用计算的方法判断是否为线性分子。【解析】根据经典能量均分原理：线型分子：非线型分子：如分子为线型分子：如分子为非线型分子：又解得所以，为线型分子。【7】指出下列分子的对称数：（1）O2；（2）CH3Cl；（3）CH2Cl2；（4）C6H6（苯）；（5）C6H5CH3；（甲苯）（6）顺丁二烯；（7）反丁二烯；（8）SF6【解析】对称数（1）2；（2）3；（3）1；（4）12；（5）2（6）2;（7）1;（8）12。【8】从以下数据判断某X分子的结构，（1）它是理想气体，含有n个原子；（2）在低温时振动自由度不激发，它的与的相同；（3）在高温时，它的比的高。【解析】解法1：根据经典的能量均分原理，能量均匀地分布在每一个自由度方向上，若气体为1mol则相应地对热容地贡献为。由题设知，分子为线性分子，有3...
