CNOMO/对一道物理题目的三种不同解法(难)原题：从赤道上的 C 点发射洲际导弹，使之精确地击中北极点 N，要求发射所用的能量最少．假定地球是一质量均匀分布的半径为 R 的球体，R=6400km．已知质量为 m 的物体在地球引力作用下作椭圆运动时，其能量 E 与椭圆半长轴 a的关系为式中 M 为地球质量，G 为引力常量． 1．假定地球没有自转，求最小发射速度的大小和方向(用速度方向与从地心 O 到发射点 C 的连线之间的夹角表示)．2．若考虑地球的自转，则最小发射速度的大小为多少?3．试导出解法一：根据椭圆定义解已知椭圆过 N、C 两点，O 为椭圆的一个焦点，则椭圆的另一焦点 O/ 在∠CON 的角平分线 OM上。当发射速度最小时，椭圆长轴最小，根据椭圆上任意点到两焦点间距和为 2a，得CO+CO/ =2a,欲使 a 最小，则 CO/最小，即可得 CO/⊥OM,则…………………………… ⑴………⑵…………⑶速度方向即椭圆切线方向垂直于∠OCO/ 的角平分线，则与 NO 夹角为 67.50。本解法为标准答案的解法，也是最佳解法，另外还有两种不同解法。解法二：根据椭圆的极坐标方程解以 O 为极点，OM 为极轴正方向，建立椭圆极坐标方程。得椭圆方程：…………………………………⑷因为 N、C 两点在椭圆上，………………………………⑸……………………⑹欲使 c 有解，Δ≥０，且取临界状态得………………⑺…………………………………⑻因为 2a 必大于 R，有………………………………⑼接下来的解法同解法一解法三：根据椭圆的直角坐标系方程解以 O 为坐标原点，OM 为 x 轴正方向，建立直角坐标系。得椭圆方程：……………………………⑽N 在椭圆上，且坐标为（），代入得 ……………………………⑾设椭圆中，得 ……………………………⑿ ………………⒀ ………………⒁ ………………⒂因为、b、c 只能取正值……………………………⒃上式中 cosθ 只能取 0 到 1 之间……………………………⒄欲使 cosθ 有解，且取临界条件……………………………⒅……………………………⒆接下来解法同以上两种解法。
