专题强化 圆周运动的综合分析[学习目标]1.会分析竖直面内的圆周运动，掌握轻绳、轻杆作用下圆周运动的分析方法.2.掌握圆周运动临界问题的分析方法.一、竖直面内的圆周运动1.竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型如图 1 所示，甲图中小球受绳拉力和重力作用，乙图中小球受轨道的弹力和重力作用，二者运动规律相同，现以甲图为例.图 1(1)最低点动力学方程：FT1－mg＝m所以 FT1＝mg＋m(2)最高点动力学方程：FT2＋mg＝m所以 FT2＝m－mg(3)最高点的最小速度：由于绳不可能对球有向上的支持力，只能产生向下的拉力，由 FT2＋mg＝可知，当 FT2＝0 时，v2最小，最小速度为 v2＝.讨论：当 v2＝时，拉力或压力为零.当 v2>时，小球受向下的拉力或压力.当 v2<时，小球不能到达最高点.如图 2 所示，长度为 L＝0.4m 的轻绳，系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球的质量为 m＝0.5kg，小球半径不计，g 取 10m/s2，求：图 2(1)小球刚好通过最高点时的速度大小；(2)小球通过最高点时的速度大小为 4m/s 时，绳的拉力大小；(3)若轻绳能承受的最大张力为 45N，小球运动过程中速度的最大值.答案 (1)2m/s (2)15N (3)4m/s解析 (1)小球刚好能够通过最高点时，恰好只由重力提供向心力，故有 mg＝m，解得 v1＝＝2m/s.(2)小球通过最高点时的速度大小为 4m/s 时，拉力和重力的合力提供向心力，则有 FT＋mg＝m，解得 FT＝15N.(3)分析可知小球通过最低点时绳张力最大，在最低点由牛顿第二定律得 FT′－mg＝，将 FT′＝45N 代入解得 v3＝4m/s，即小球的速度不能超过 4m/s.2.竖直面内圆周运动的轻杆(管)模型如图 3 所示，细杆上固定的小球和光滑管形轨道内运动的小球在重力和杆(管道)的弹力作用下做圆周运动.图 3(1)最高点的最小速度由于杆和管在最高点处能对小球产生向上的支持力，故小球恰能到达最高点的最小速度 v＝0，此时小球受到的支持力 FN＝mg.(2)小球通过最高点时，轨道对小球的弹力情况①v>，杆或管的外侧对球产生向下的拉力或弹力，mg＋F＝m，所以 F＝m－mg，F 随 v 增大而增大；②v＝，球在最高点只受重力，不受杆或管的作用力，F＝0，mg＝m；③0
