求逆矩阵的若干方法和举例VIP免费

求逆矩阵的若干方法和举例苏红杏广西民院计信学院00数本（二）班[摘要]本文详细给出了求逆矩阵的若干方法并给出相应的例子，以供学习有关矩阵方面的读者参考。[关键词]逆矩阵初等矩阵伴随矩阵对角矩阵矩阵分块多项式等引言在我们学习《高等代数》时，求一个矩阵的逆矩阵是一个令人十分头痛的问题。但是，在研究矩阵及在以后学习有关数学知识时，求逆矩阵又是一个必不可缺少的知识点。为此，我介绍下面几种求逆矩阵的方法，供大家参考。定义:n阶矩阵A为可逆，如果存在n阶矩阵B，使得AB=BA=E，这里E是n阶单位矩阵，此时，B就称为A的逆矩阵，记为A−1，即：B=A−1方法一.初等变换法（加边法）我们知道，n阶矩阵A为可逆的充分必要条件是它能表示成一系列初等矩阵的乘积A=Q1Q2⋯Qm，从而推出可逆矩阵可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵。即，必有一系列初等矩阵Q1Q2⋯Qm使QmQm−1⋯Q1A=E（1）则A−1=QmQm−1⋯Q1A=E（2）把A，E这两个n阶矩阵凑在一起，做成一个n*2n阶矩阵（A，E），按矩阵的分块乘法，（1）（2）可以合并写成QmQm−1⋯Q1（A，E）=（QmQm−1⋯Q1，A，QmQm−1⋯Q1E）=（E，A−1）（3）这样就可以求出矩阵A的逆矩阵A−1。例1.设A=(0121142−10)求A−1。解：由（3）式初等行变换逐步得到：(0121001140102−10001)→(1140100121002−10001)→(1002−110104−2100−23−21)→(1002−110104−21001−321−12)于是A−1=(2−114−21−321−12)说明：此方法适用于求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，比较简便，特别是当阶数较高时，使用初等变换法的优点更明显。同样使用初等列变换类似行变换，此略，注意在使用此方法求逆矩阵是，一般做初等行变换，避免做初等列变换。方法二.伴随矩阵法定理：矩阵A是可逆的充分必要条件是A非退化，而A−1=1dA¿，（d=|A|¿0）(4)我们用（4）式来求一个矩阵的逆矩阵。例2.求矩阵A的逆矩阵A−1：已知A=(123221343)解：d=|A|=9+6+24-18-12-4=2¿0A11=2A12=-3A13=2A21=6A22=-6A23=2A31=-4A32=5A33=-2用伴随矩阵法，得A−1=1dA¿=(13−2−32−35211−1)说明：虽然这个公式对任何可逆矩阵都适用，但由于计算量大，一般只用于较低阶的矩阵的求逆比如二阶三阶矩阵的逆，尤以对二阶，此方法更方便。方法三.矩阵分块求逆法在进行高阶矩阵运算时，经常将高阶矩阵按某种规则分成若干块，每一小块是一小矩阵，这样一方面对小矩阵进行运算，一方面每一小矩阵又可作为一个元素按运算规则来进行运算，求出矩阵的逆矩阵。引出公式：设T的分块矩阵为：T=(ABCD),其中T为可逆矩阵，则T−1=(A−1+A−1B(D−CA−1B)−1CA−1−A−1B(D−CA−1B)−1¿)¿¿¿¿,（5）说明：关于这个公式的推倒从略。例3.求下列矩阵的逆矩阵，已知W=(1003010400123425)解：将矩阵W分成四块，设A=(100010001),B=(3¿)(4¿)¿¿¿¿,C=(342),D=(5),于是(D−CA−1B)=(−24),即(D−CA−1B)−1=(−124)A−1B=B=(3¿)(4¿)¿¿¿¿,CA−1=C=(342)，利用公式（5），得W−1=124(15−12−63−128−84−6−8202342−1)方法四.因式分解法若Ak=0，即（E-A）可逆，且有(E−A)−1=E+A+A2+⋯+AK−1，（6）我们通过上式（6），求出A−1例4.求下面矩阵的逆矩阵，已知：A=(1−12−3401−12−3001−120001−100001),解：因为存在一个K¿0，使(E−A)K=0，把这里的（E-A）替换（6）式中的“A”，得A−1=E+(E−A)+(E−A)2+⋯+(E−A)K−1通过计算得(E−A)4=(1−12−3401−12−3001−120001−100001)4=0，即K=4所以A−1=E+(E−A)+(E−A)2+(E−A)3=(1000001000001000001000001)+(01−23−4001−230001−20000100000)+⋯=(11−101011−100011−10001100001)方法五.多项式法我们知道，矩阵A可逆的充分必要条件是有一常数项不为零的多项式f(x)，满足f(A)=0，用这个知识点也可以求出逆矩阵。例5.已知矩阵A=(2−1¿)¿¿¿¿，且A满足多项式f(x)=X2−5X+3E=0，即A2−5A+3E=0试证明A是可逆矩阵，并求其可逆矩阵。证：由A2−5A+3E=0，可得A(−13A+53E)=E从而可知A为可逆矩阵，并且A−1=13A+53E¿−13(2−1−33)+53(1001)=(113123)方法六.解方程组法在求一个矩阵的的逆矩阵时，可设出逆矩阵的待求元素，根据等式AA−1=E两端...