考点一导数及其几何意义1．(2014·大纲全国，7)曲线y＝xex－1在点(1，1)处切线的斜率等于()A．2eB．eC．2D．1解析由题意可得y′＝ex－1＋xex－1，所以曲线在点(1，1)处切线的斜率等于2，故选C.答案C2．(2014·新课标全国Ⅱ，8)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a＝()A．0B．1C．2D．3解析y′＝a－，由题意得y′|x＝0＝2，即a－1＝2，所以a＝3.答案D3．(2011·江西，4)若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)>0的解集为()A．(0，∞＋)B．(－1，0)∪(2，∞＋)C．(2，∞＋)D．(－1，0)解析f(x)的定义域为(0，∞＋)，又由f′(x)＝2x－2－＝>0，解得－12，所以f′(x)>0的解集为(2，∞＋)．答案C4．(2011·大纲全国，8)曲线y＝e－2x＋1在点(0，2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为()A.B.C.D．1解析y′＝－2e－2x，曲线在点(0，2)处的切线斜率k＝－2，∴切线方程为y＝－2x＋2，该直线与直线y＝0和y＝x围成的三角形如图所示，其中直线y＝－2x＋2与y＝x的交点A，y＝－2x＋2与x轴的交点坐标为(1，0)，所以三角形面积S＝×1×＝，故选A.答案A5．(2014·江西，13)若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．解析由题意有y′＝－e－x，设P(m，n)，直线2x＋y＋1＝0的斜率为－2，则由题意得－e－m＝－2，解得m＝－ln2，所以n＝e－(－ln2)＝2.答案(－ln2，2)6．(2013·江西，13)设函数f(x)在(0，∞＋)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________．解析令ex＝t，则x＝lnt，∴f(t)＝lnt＋t，∴f′(t)＝＋1，∴f′(1)＝2.答案27．(2015·陕西，15)设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________．解析 (ex)′＝e0＝1，设P(x0，y0)，有＝－＝－1，又 x0＞0，∴x0＝1，故xP(1，1)．答案(1，1)8．(2013·北京，18)设L为曲线C：y＝在点(1，0)处的切线．(1)求L的方程；(2)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线L的下方．(1)解设f(x)＝，则f′(x)＝.所以f′(1)＝1.所以L的方程为y＝x－1.(2)证明令g(x)＝x－1－f(x)，则除切点之外，曲线C在直线L的下方等价于g(x)>0(∀x>0，x≠1)．g(x)满足g(1)＝0，且g′(x)＝1－f′(x)＝.当01时，x2－1>0，lnx>0，所以g′(x)>0，故g(x)单调递增．所以，g(x)>g(1)＝0(∀x>0，x≠1)．所以除切点之外，曲线C在直线L的下方．考点二定积分与微积分基本定理1．(2014·陕西，3)定积分(2x＋ex)dx的值为()A．e＋2B．e＋1C．eD．e－1解析(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)|＝(1＋e)－(0＋e0)＝e，因此选C.答案C2．(2014·江西，8)若f(x)＝x2＋2f(x)dx，则f(x)dx＝()A．－1B．－C.D．1解析因为f(x)dx是常数，所以f′(x)＝2x，所以可设f(x)＝x2＋c(c为常数)，所以x2＋c＝x2＋20，解得c＝－，f(x)dx＝(x2＋c)dx＝dx＝|＝－.答案B3．(2014·山东，6)直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A．2B．4C．2D．4解析由4x＝x3，解得x＝0或x＝2或x＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为(4x－x3)dx＝|＝4.答案D4．(2014·湖南，9)已知函数f(x)＝sin(x－φ)，且f(x)dx＝0，则函数f(x)的图象的一条对称轴是()A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝解析由定积分sin(x－φ)dx＝－cos(x－φ)0＝cosφ－sinφ＋cosφ＝0，得tanφ＝，所以φ＝＋kπ(k∈Z)，所以f(x)＝sin(k∈Z)，由正弦函数的性质知y＝sin与y＝sin的图象的对称轴相同，令x－＝kπ＋，则x＝kπ＋(k∈Z)，所以函数f(x)的图象的对称轴为x＝kπ＋π(k∈Z)，当k＝0，得x＝，选A.答案A5．(2014·湖北，6)若函数f(x)，g(x)满足f(x)g(x)dx＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1，1]上的一组正交函数．给出三组函数：①f(x)＝sinx，g(x)＝cosx；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2.其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是()A．0B．1C．2D．3解析对于①，sinxcosxdx＝sinxdx＝0，所以①是一组正交函数；对于②，(x＋1)(x－1)dx＝(x2－1)dx≠0，所以②不是一组正交函数；对于③，x·x2dx＝x3dx＝0，所以③是...
