2010-2011 学年高中数学 第 2 章 圆锥曲线与方程 本章复习章末检测同步精品学案 新人教 A 版选修 2.知识点一 定义和性质的应用 设 F1、F2是椭圆＋＝1 的两个焦点，P 为椭圆上的一点，已知 P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|>|PF2|，求的值．解 由题意知，a＝3，b＝2，则 c2＝a2－b2＝5，即 c＝.由椭圆定义，知|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2.(1)若∠PF2F1为直角，则|PF1|2＝|F1F2|2＋|PF2|2，|PF1|2－|PF2|2＝20.即解得|PF1|＝，|PF2|＝.所以＝.(2)若∠F1PF2为直角，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2.即 20＝|PF1|2＋(6－|PF1|)2，解得|PF1|＝4，|PF2|＝2 或|PF1|＝2，|PF2|＝4(舍去)．所以＝2.知识点二 圆锥曲线的最值问题 已知 A(4,0)，B(2,2)是椭圆＋＝1 内的两定点，点 M 是椭圆上的动点，求|MA|＋|MB|的最值．解 因为 A(4,0)是椭圆的右焦点，设 A′为椭圆的左焦点，则 A′(4,0)，由椭圆定义知|MA|+|MA′|=10.如图所示，则|MA|+|MB|=|MA|+|MA′|+|MB||MA′|=10+|MB||MA′|≤10+|A′B|.当点 M 在 BA′的延长线上时取等号．所以当 M 为射线 BA′与椭圆的交点时，(|MA|+|MB|)max=10+|A′B|=10+2.又如图所示，|MA|+|MB|=|MA|+|MA′||MA′|+|MB|=10 (|MA′||MB|)≥10|A′B|，当 M 在 A′B 的延长线上时取等号．所以当 M 为射线 A′B 与椭圆的交点时，(|MA|+|MB|)min=10|A′B|=10 2.知识点三 轨迹问题 抛物线 x2＝4y 的焦点为 F，过点(0，－1)作直线交抛物线于不同两点 A、B，以AF，BF 为邻边作平行四边形 FARB，求顶点 R 的轨迹方程．解 设直线 AB：y＝kx－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，R(x，y)，由题意 F(0,1)，由，可得 x2－4kx＋4＝0，∴x1＋x2＝4k.又 AB 和 RF 是平行四边形的对角线，∴x1＋x2＝x，y1＋y2＝y＋1.用心 爱心 专心1而 y1＋y2＝k(x1＋x2)－2＝4k2－2，∴，消去 k 得 x2＝4(y＋3)．由于直线和抛物线交于不同两点，∴Δ＝16k2－16>0，∴k>1 或 k<－1，∴x>4 或 x<－4.∴顶点 R 的轨迹方程为 x2＝4(y＋3)，且|x|>4.知识点四 直线与圆锥曲线的位置关系 已知直线 l：y＝kx＋b 与椭圆＋y2＝1 相交于 A、B 两点，O 为坐标原点．(1)当 k＝0,0
