2010 届高三数学精品讲练：三角函数一、典型例题例1、已知函数 f(x)=（1） 求它的定义域和值域；（2） 求它的单调区间；（3） 判断它的奇偶性；（4） 判断它的周期性。分析： （1）x 必须满足 sinx-cosx>0，利用单位圆中的三角函数线及，k∈Z∴ 函数定义域为，k∈Z ∴ 当 x∈时 ，∴ ∴ ∴ 函数值域为[） （3） f(x)定义域在数轴上对应的点关于原点不对称∴ f(x)不具备奇偶性 （4） f(x+2π)=f(x)∴ 函数 f(x)最小正周期为 2π注；利用单位圆中的三角函数线可知，以Ⅰ、Ⅱ象限角平分线为标准，可区分 sinx-cosx 的符号；以Ⅱ、Ⅲ象限角平分线为标准，可区分 sinx+cosx 的符号，如图。例2、化简，α∈（π，2π）分析：凑根号下为完全平方式，化无理式为有理式 ∴ 原式= α∈（π，2π）∴ ∴ 当时，∴ 原式=当时，∴ 原式=∴ 原式=注： 1、本题利用了“1”的逆代技巧，即化 1 为，是欲擒故纵原则。一般地有，，。 2、三角函数式 asinx+bcosx 是基本三角函数式之一，引进辅助角，将它化为（取）是常用变形手段。特别是与特殊角有关的 sin±cosx，±sinx±cosx，要熟练掌握变形结论。例3、求。分析：原式= 注：在化简三角函数式过程中，除利用三角变换公式，还需用到代数变形公式，如本题平方差公式。例 4 、 已 知 00<α<β<900 ， 且 sinα ， sinβ 是 方 程=0 的两个实数根，求 sin(β-5α)的值。分析：由韦达定理得sinα+sinβ=cos400，sinαsinβ=cos 2400-∴ sinβ-sinα= 又 sinα+sinβ=cos400∴ 00<α<β< 900∴ ∴ sin(β-5α)=sin600=注：利用韦达定理变形寻找与 sinα，sinβ 相关的方程组，在求出 sinα，sinβ 后再利用单调性求 α，β 的值。例 5 、 （ 1 ） 已 知 cos(2α+β)+5cosβ=0 ， 求tan(α+β)·tanα 的值； （2）已知，求的值。分析：（1） 从变换角的差异着手。 2α+β=(α+β)+α，β=(α+β)-α∴ 8cos[(α+β)+α]+5cos[(α+β)-α]=0展开得：13cos(α+β)cosα-3sin(α+β)sinα=0同除以 cos(α+β)cosα 得：tan(α+β)tanα=（2） 以三角函数结构特点出发 ∴ ∴ tanθ=2∴ 注；齐次式是三角函数式中的基本式，其处理方法是化切或降幂。例 6、已知函数（a∈(0，1)），求 f(x)的最值，并讨论周期性，奇偶性，单调性。分析：对三角函数式降幂 ∴ f(x)=令 则 y=au∴ 0
