（人教专用）2014高考数学总复习热点重点难点专题透析专题2第2课时三角变换与解三角形练习题理(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)1．(2013·新课标卷Ⅱ)已知sin2α＝，则cos2＝()A．B．C．D．解析：∵sin2α＝，∴cos2＝＝＝＝.答案：A2．(2013·合肥质量检测)△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C＝，3a＝2c＝6，则b的值为()A．B．C．－1D．1＋解析：因为3a＝2c＝6，所以a＝2，c＝3，由余弦定理知cosC＝，即cos＝＝＝，得b＝1＋.答案：D3．在△ABC中，若0＜tanA·tanB＜1，那么△ABC一定是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．形状不确定解析：由0＜tanA·tanB＜1，可知tanA＞0，tanB＞0，即A，B为锐角，tan(A＋B)＝＞0，即tan(π－C)＝－tanC＞0，所以tanC＜0，所以C为钝角，所以△ABC为钝角三角形．故选B.答案：B4．在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝()A．B．C．D．解析：由余弦定理可得AC＝＝＝，于是由正弦定理可得＝，于是sin∠BAC＝＝.答案：C5．(2013·贵州六盘水二模)已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，则cos(α－β)的值等于()A．－B．C．－D．解析：∵α∈，∴2α∈(0，π)．∵cosα＝，∴cos2α＝2cos2α－1＝－，∴sin2α＝＝，而α，β∈，∴α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝＝，∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝×＋×＝.答案：D6．(2013·山西晋中名校高三联合测试)对于集合{a1，a2，…，an}和常数a0，定义：ω＝为集合{a1，a2，…，an}相对a0的“正弦方差”，则集合相对a0的“正弦方差”为()A．B．C．D．与a0有关的一个值解析：集合相对a0的“正弦方差”ω＝＝＝＝＝＝.答案：A7．已知直线l：xtana－y－3tanβ＝0的斜率为2，在y轴上的截距为1，则tan(α＋β)＝________.解析：依题意得tanα＝2，－3tanβ＝1，即tanβ＝－，tan(α＋β)＝＝＝1.答案：18．(2013·福建卷)如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为________．解析：∵sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝，∴在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD，∴BD2＝18＋9－2×3×3×＝3∴BD＝.答案：9．已知△ABC中，BC＝1，AB＝，AC＝，点P是△ABC的外接圆上的一个动点，则BP·BC的最大值是________．解析：由余弦定理得cosA＝＝，则sinA＝，结合正弦定理可得△ABC的外接圆直径2r＝＝3.如图，建立平面直角坐标系，设B，C，P，则BP＝，BC＝(1,0)，所以BP·BC＝cosθ＋，易知BP·BC的最大值是2.答案：210．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acos2＋ccos2＝b.(1)求证：a，b，c成等差数列；(2)若∠B＝60°，b＝4，求△ABC的面积．解析：(1)acos2＋ccos2＝a·＋c·＝b，即a(1＋cosC)＋c(1＋cosA)＝3b.由正弦定理得：sinA＋sinAcosC＋sinC＋cosAsinC＝3sinB，即sinA＋sinC＋sin(A＋C)＝3sinB，∴sinA＋sinC＝2sinB.由正弦定理得，a＋c＝2b，故a，b，c成等差数列．(2)由∠B＝60°，b＝4及余弦定理得：42＝a2＋c2－2accos60°，∴(a＋c)2－3ac＝16，又由(1)知a＋c＝2b，代入上式得4b2－3ac＝16，解得ac＝16，∴△ABC的面积S＝acsinB＝acsin60°＝4.11．已知函数f(x)＝2cos2－sinx.(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；(2)若α为第二象限角，且f＝，求的值．解析：(1)因为f(x)＝1＋cosx－sinx＝1＋2cos，所以函数f(x)的最小正周期为2π，值域为[－1,3]．(2)因为f＝，所以1＋2cosα＝，即cosα＝－.又因为α为第二象限角，所以sinα＝.因为＝＝＝，所以原式＝＝＝.12．(2013·辽宁五校联合体考试)设函数f(x)＝＋2cos2x.(1)求f(x)的最大值，并写出使f(x)取最大值时x的集合；(2)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(B＋C)＝，b＋c＝2，求a的最小值．解析：(1)∵f(x)＝cos＋2cos2x＝cos＋1，∴f(x)的最大值为2.f(x)取最大值时，cos＝1,2x＋＝2kπ(k∈Z)，故x的集合为{x|x＝kπ－，k∈Z}．(2)由f(B＋C)＝cos＋1＝，可得cos＝，由A∈(0，π)，可得A＝.在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos＝(b＋c)2－3bc，由b＋c＝2知bc≤2＝1，当b＝c＝1时bc取最大值，此时a取最小值1.
