第 4 课时 等比数列的综合应用思路方法技巧命题方向 等比数列性质的应用［例 1］ (1)等比数列{an}，已知 a1=5，a9a10=100，求 a18；(2)在等比数列{bn}中，b4=3，求该数列前七项之积；(3)在等比数列{an}中，a2=-2，a5=54，求 a8.［分析］ 由等比数列的性质可知：与首末两项等距离的两项积等于首末两项的积，与某一项距离相等的两项之积等于这一项的平方.［解析］ (1) a1a18=a9a10,∴a18===20.(2)b1b2b3b4b5b6b7=(b1b7)(b2b6)(b3b5)b4. b24=b1b7=b2b6=b3b5,∴前七项之积为(32) 3×3=37=2187.(3)解法一：a8=a5q3=a5·=54×=-1458.解法二： a5是 a2与 a8的等比中项，∴542=a8×(-2).∴a8=-1458.［说明］ 本题的求解，主要应用了等比数列的性质，若 m,n,k,l∈N+且 m+n=k+l，则am·an=ak·al.由此可见，在等比数列问题中，合理应用性质，可使解法简捷.变式应用 1 已知{an}是等比数列，且 a1a10=243,a4+a7=84,求 a11.［解析］ a4·a7=a1·a10,∴a4a7=243, a4=81 a4=3又 a4+a7=84,∴ ，或a7=3 a7=81∴q=或 q=3.∴a11=3q4=3×（）4=或 a11=81×34=6561.命题方向 与前 n 项和有关的等比数列的性质问题［例 2］ 各项都是正实数的等比数列{an}，前 n 项的和记为 Sn,若 S10=10,S30=70,则 S40等于（ ）A.150B.-200C.150 或-200D.400 或-50［答案］ A［分析］ 本题思路较为广泛，可以运用等比数列前 n 项和公式列方程，确定基本量 a1,q 后求解，也可以应用等比数列前 n 项和的性质求解.［解析］ 解法一：设首项为 a1,公比为 q，由题意知 q≠±1. =10 ①用心 爱心 专心1由 ，=70 ②由以上两式相除得 q20+q10-6=0,解得 q10=2 或 q10=-3(舍去)，代入①有=-10，∴S40==-10×(-15)=150.解法二：易知 q≠±1，由 S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成公比为 q10的等比数列,则S30=S10+(S20-S10)+(S30-S20)=S10+q10S10+q20S10，即 q20+q10-6=0，解得 q10=2 或 q10=-3（舍去），∴S40=S10+(S20-S10)+(S30-S20)+(S40-S30)=10(1+2+22+23)=150.解法三：运用性质 Sm+n=Sm+qmSn求解， S30=S20+q20S10=S10+q10S10+q20S10从而有 q20+q10-6=0，解得 q10=2 或 q10=-3(舍去).∴S40=S30+q30S10=70+8×10=150.解法四：易知 q≠±1, =，∴q20+q10-6=0,解得 q10=2 或 q10=-3(舍去).又=，所以 S40=150.［说明］ 在与等比数列的和有关的问题中，合理应用和的性质，可以简化运算，本题的解法二运用了当...
