4.10 三角函数的应用●知识梳理1.三角函数的性质和图象变换.2.三角函数的恒等变形.三角函数的化简、求值、证明多为综合题，突出对数学思想方法的考查.3.三角函数与其他数学知识的联系.特别要注意三角与几何、三角与平面向量的联系.●点击双基1.已知 sinx+cosx=，0≤x≤π，则 tanx 等于A.－或－B.－C.－D.或解析：原式两边平方得 2sinxcosx=－－2sinxcosx=1－2sinxcosx=sinx－cosx=，可得 sinx=，cosx=－.∴tanx=－.答案：B2.（2001 年春季北京）若 A、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点 P（cosB－sinA，sinB－cosA）在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析： △ABC 为锐角三角形，∴A+B＞.∴A＞－B，B＞－A.∴sinA＞cosB，sinB＞cosA.∴P 在第二象限.答案：B3.（2004 年北京西城区一模题）设 0＜|α|＜，则下列不等式中一定成立的是A.sin2α＞sinαB.cos2α＜cosαC.tan2α＞tanαD.cot2α＜cotα解析：由 0＜|α|＜，知 0＜2|α|＜且 2|α|＞|α|，∴cos2|α|＜cos|α|.∴cos2α＜cosα.答案：B4.（2003 年上海）若 x=是方程 2cos（x+α）=1 的解，其中 α∈（0，2π），则α=_________.解析： x=是方程 2cos（x+α）=1 的解，∴2cos（+α）=1，即 cos（+α）=.1又 α∈（0，2π），∴+α∈（，）.∴+α=.∴α=.答案：5.（2004 年北京西城区二模题，理）函数 y=sinx·（sinx+cosx）（x∈R）的最大值是____________.解析：原式=sin2x+sinxcosx=+sin2x=sin2x－cos2x+=sin（2x－）+，其最大值为 1+=.答案：●典例剖析【例 1】 化简 cos（π+α）+cos（π－α）（k∈Z）.剖析：原式=cos（kπ++α）+cos（kπ－－α）=cos［kπ+（+α）］+cos［kπ－（+α）］.解：原式=cos［kπ+（+α）］+cos［kπ－（+α）］=2coskπcos（+α）=2（－1）k（coscosα－sinsinα）=（－1）k（cosα－sinα），k∈Z.【例 2】 已知 sin（α+β）=，sin（α－β）=，求的值.解：由已知得所以 sinαcosβ=，cosαsinβ=.从而==.思考讨论由①②不解 sinαcosβ、cosαsinβ，能求吗?提示：①÷②，弦化切即可，读者不妨一试.【例 3】 求函数 y=，x∈（0，）的值域.剖析：将原函数中三角函数都化成单角的正弦函数，再换元将其转化为一元函数求解.解：y==.设 t=sinx，则由 x∈（0，）t∈（0，1）.2对于 y===－1+－，令=m，m∈（，1），则 y=－2m2+3m－1=－2（m－）2+.当 m=∈（，1）时，ymax=，当 m=或 m=1 时，y...
