第 9 课时 空间距离1．点与点的距离：两点间 的长．2．点与线的距离：点到直线的 的长．3．平行线间的距离：从两条平行线中一条上 一点向另一条引垂线，这点到 之间的线段长．4．点与面的距离：点到平面的 的长．5．平行于平面的直线与平面的距离：直线上 一点到平面的 的长．6．两个平行平面间的距离：从其中一个平面上 一点向另一个平面引垂线，这点到 之间的线段长．7．两条异面直线的距离：与两条异面直线都 的直线夹在两 间线段的长．例 1. 已知正六边形 ABCDEF 的边长为 a，PA⊥平面 AC，PA＝a．求：⑴ P 到直线 BC 的距离；⑵ P 到直线 CD 的距离．答案：(1) (2) 2a变式训练 1： 已知平面外不共线的三点 A、B、C 到 α 的距离相等．求证：存在△ABC 的一条中位线平行 α 或在 α 内．提示：分 A、B、C 在的同侧与异侧讨论例 2．如图， 直线 l 上有两定点 A、B， 线段 AC⊥l，BD⊥l，AC＝BD＝a，且 AC 与 BD 成 120°角，求 AB 与 CD 间的距离．解：在面 ABC 内过 B 作 BE⊥l 于 B，且 BE＝AC，则 ABEC 为矩形．∴AB∥CE，∴AB∥平面 CDE．则 AB 与 CD 的距离即为 B 到 DE 的距离．过 B 作 BF⊥DE 于 F，易求得 BF＝，∴AB 与 CD 的距离为．变式训练 2：ABCD是边长为 a 的正方形，M、N 分别为 DA、BC 边上的点，且 MN∥AB 交 AC 于 O点，沿 MN 折成直二面角．⑴ 求证：不论 MN 怎样平行移动(AB∥MN)，∠AOC 的大小不变；⑵ 当 MN 在怎样的位置时，点 M 到平面 ACD 的距离最大？并求出这个最大值．解(1) 120°；(2) 当且仅当MA＝MD 时，点 M 到平面 ACD 的距离最大，最大值为a．设 MD＝x，M 到 AD 的距离 h 即是 M 到平面 ACD 的距离：h＝≤＝≤a(当 x＝时两不等式同取等号)例 3. 已知 ABCD 是边长为 4 的正方形，E、F 分别是 AB、AD 的中点，GC⊥平面 ABCD，GC＝2，求点 B 到平面 EFG 的距离．解：连结 AC、BD、AC∩BD＝0， E、F 分别是 AB、AD 的中点，典型例题基础过关ACBDlAEBCGDFANMBODCFCDEGBA北南30°30°30°∴EF∥BD，∴B 到平面 EFG 的距离即 0 到平面 EFG 的距离，AC∩EF＝K，连结 KG， EF⊥KC，∴EF⊥平面 KGC，过 O 作 OH⊥KG 于 H，则 OH⊥平面 EFG，∴OH 即为 O 到平面 EFG 的距离，KC＝AC＝3，KG＝，OK＝AC＝，由Rt△OHK∽Rt△CKG 得 OH＝．...
