2012年高考数学《立体几何初步》专题 空间直线学案

第 2 课时 空间直线1．空间两条直线的位置关系为 、 、 ．2．相交直线 一个公共点，平行直线 没有公共点，异面直线：不同在任 平面，没有公共点．3．公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相 ．4．等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两角 ．5．异面直线的判定定理过平面外一点与平面内一点的直线和平面内 的直线是异面直线(作用：判定两条直线是异面直线)6．异面直线的距离：和两条异面直线 的直线称为异面直线的公垂线．两条异面直线的公垂线在 的长度，叫两异面直线的距离．例 1. 如图，在空间四边形 ABCD 中，AD＝AC＝BC＝BD＝a，AB＝CD＝b，E、F 分别是 AB、CD的中点．(1) 求证：EF 是 AB 和 CD 的公垂线；(2) 求 AB 和 CD 间的距离．证明：(1) 连结 CE、DE AB⊥面 CDE∴AB⊥EF 同理 CD⊥EF∴EF 是 AB 和 CD 的公垂线(2) △ECD 中，EC＝＝ED∴EF＝变式训练 1：在空间四边形 ABCD 中，AD＝BC＝2，E，F 分别为 AB、CD 的中点，EF＝，求AD、BC 所成角的大小．解：设BD 的中点 G，连接 FG，EG。在△EFG 中 EF＝ FG＝EG＝1∴∠EGF＝120° ∴AD 与 BC 成 60°的角。例 2. S 是正三角形 ABC 所在平面外的一点，如图 SA＝SB＝SC，且ASB＝BSC＝CSA＝，M、N 分别是 AB 和 SC 的中点．求异面直线 SM 与 BN 所成的角．证明：连结 CM，设 Q 为 CM 的中点，连结 QN 则 QN∥SM∴∠QNB 是 SM 与 BN 所成的角或其补角连结 BQ，设 SC＝a，在△BQN 中BN＝ NQ＝SM＝a BQ＝∴COS∠QNB＝基础过关典型例题AEBCFDBMANCS∴∠QNB＝arc cos变式训练 2：正ABC 的边长为 a，S 为ABC所在平面外的一点，SA＝SB＝SC＝a，E，F 分别是 SC 和 AB 的中点．(1) 求异面直线 SC 和 AB 的距离；(2) 求异面直线 SA 和 EF 所成角．答案：(1) (2) 45°例 3. 如图，棱长为 1 的正方体 ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分别为 A1B1、BB1、CC1的中点．(1) 求异面直线 D1P 与 AM，CN 与 AM 所成角；(2) 判断 D1P 与 AM 是否为异面直线？若是，求其距离．解：(1) D1P 与 AM 成 90°的角CN 与 AM 所成角为 arc cos.(2) 是．NP 是其公垂线段, D1P 与 AN 的距离为 1.变式训练 3：如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M、N 分别是 A1B1和 A1C1的中点，若 BC＝CA＝CC1，求 NM 与 AN...