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2012年高考数学《立体几何初步》专题 空间直线学案

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第 2 课时 空间直线1.空间两条直线的位置关系为 、 、 .2.相交直线 一个公共点,平行直线 没有公共点,异面直线:不同在任 平面,没有公共点.3.公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相 .4.等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两角 .5.异面直线的判定定理过平面外一点与平面内一点的直线和平面内 的直线是异面直线(作用:判定两条直线是异面直线)6.异面直线的距离:和两条异面直线 的直线称为异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线在 的长度,叫两异面直线的距离.例 1. 如图,在空间四边形 ABCD 中,AD=AC=BC=BD=a,AB=CD=b,E、F 分别是 AB、CD的中点.(1) 求证:EF 是 AB 和 CD 的公垂线;(2) 求 AB 和 CD 间的距离.证明:(1) 连结 CE、DE AB⊥面 CDE∴AB⊥EF 同理 CD⊥EF∴EF 是 AB 和 CD 的公垂线(2) △ECD 中,EC==ED∴EF=变式训练 1:在空间四边形 ABCD 中,AD=BC=2,E,F 分别为 AB、CD 的中点,EF=,求AD、BC 所成角的大小.解:设BD 的中点 G,连接 FG,EG。在△EFG 中 EF= FG=EG=1∴∠EGF=120° ∴AD 与 BC 成 60°的角。例 2. S 是正三角形 ABC 所在平面外的一点,如图 SA=SB=SC,且ASB=BSC=CSA=,M、N 分别是 AB 和 SC 的中点.求异面直线 SM 与 BN 所成的角.证明:连结 CM,设 Q 为 CM 的中点,连结 QN 则 QN∥SM∴∠QNB 是 SM 与 BN 所成的角或其补角连结 BQ,设 SC=a,在△BQN 中BN= NQ=SM=a BQ=∴COS∠QNB=基础过关典型例题AEBCFDBMANCS∴∠QNB=arc cos变式训练 2:正ABC 的边长为 a,S 为ABC所在平面外的一点,SA=SB=SC=a,E,F 分别是 SC 和 AB 的中点.(1) 求异面直线 SC 和 AB 的距离;(2) 求异面直线 SA 和 EF 所成角.答案:(1) (2) 45°例 3. 如图,棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中,M、N、P分别为 A1B1、BB1、CC1的中点.(1) 求异面直线 D1P 与 AM,CN 与 AM 所成角;(2) 判断 D1P 与 AM 是否为异面直线?若是,求其距离.解:(1) D1P 与 AM 成 90°的角CN 与 AM 所成角为 arc cos.(2) 是.NP 是其公垂线段, D1P 与 AN 的距离为 1.变式训练 3:如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M、N 分别是 A1B1和 A1C1的中点,若 BC=CA=CC1,求 NM 与 AN...

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