第 7 课时 两个平面垂直1．两个平面垂直的定义：如果两个平面相交所成二面角为 二面角，则这两个平面互相垂直．2．两个平面垂直的判定：如果一个平面 有一条直线 另一个平面，则这两个平面互相垂直．3．两个平面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么一个平面 的垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面．4．异面直线上两点间的距离公式：EF＝，其中：d 是异面直线 a、b的 ，θ 为 a、b ，m、n 分别是 a、b上的点 E、F 到 AA'与 a、b 的交点A，A'的距离．例 1 如图所示，在四面体 S－ABC 中，SA＝SB＝SC，∠ASB＝∠ASC＝60°，∠BSC＝90°．求证：平面 ABC⊥平面 BSC．证明：略变式训练 1：如图，在三棱锥 S－ABC 中，SA⊥平面 ABC，平面 SAB⊥平面 SBC． ⑴ 求证：AB⊥BC；⑵ 若设二面角 S－BC－A 为 45°，SA＝BC，求二面角 A－SC－B 的大小．证明：(1) 作 AH⊥SB 于 H，则 AH⊥平面 SBC∴AH⊥BC， 又 SA⊥BC∴BC⊥平面 SAB ∴BC⊥AB(2) ∠SBA 是二面角 S－BC－A 的平面角，∠SBA＝45°，作 AE⊥SC 于 E，连结EH，EH⊥SC，∠AEH 为所求二面角的平面角，∠AEH＝60°例 2.在 120°的二面角 P－a－Q 的两个面 P 和 Q 内，分别有点 A 和点 B，已知点 A 和点 B 到棱a 的距离分别是 2 和 4，且线段 AB＝10，求：(1) 直线 AB 和棱 a 所成的角；(2) 直线 AB 和平面 Q 所成的角．答案：(1) arc sin (2) arc sin变式训练 2：已知四棱锥 P－ABCD，底面 ABCD 是菱形，∠DAB＝60°，PD⊥平面 ABCD，PD＝AD，点 E 为 AB 中点，点 F 为 PD 中点．（1） 证明：平面 PED⊥平面 PAB；（2） 求二面角 P－AB－F 的平面角的余弦值．（1）证明：连 BD． AB＝AD，∠DAB＝60°，∴△ADB 为等边三角形，∴E 是 AB 中点．∴AB⊥DE， PD⊥面 ABCD，AB面ABCD，∴AB⊥PD． DE面 PED，PD面 PED，DE∩PD＝D，∴AB⊥面 PED， AB面 PAB．∴面 PED⊥面 PAB．（2）解： AB⊥平面 PED，PE面 PED，∴AB⊥PE．连结 EF， EF面 PED，∴AB⊥EF．∴ ∠PEF 为二面角 P－AB－F 的平面角．CASDB基础过关ASBC设 AD＝2，那么 PF＝FD＝1，DE＝．在△PEF 中，PE＝，EF＝2，PF＝1∴cos∠PEF＝即二面角 P－AB－F 的平面角的余弦值为．例 3.如图，四棱锥 P－ABCD 的底面是矩形，PA⊥平面 ABCD，E、F分别是 AB、PD 的中点，又二面角 P－CD－B ...
