2012年高考数学《立体几何初步》专题 三垂线定理学案

第 5 课时 三垂线定理1．和一个平面相交，但不和这个平面 的直线叫做平面的斜线，斜线和平面的交点叫做 ．2．射影(1) 平面外一点向平面引垂线的 叫做点在平面内的射影；(2) 过垂足和斜足的直线叫斜线在平面内的 ．斜线上任意一点在平面上的射影一定在 ．垂线在平面上的射影只是 ．直线和平面平行时，直线在平面上的射影是和该直线 的一条直线．3．如图，AO 是平面斜线，A 为斜足，OB⊥，B为垂足，AC，∠OAB＝，BAC＝，∠OAC＝，则 cos＝ ．4．直线和平面所成的角平面的斜线和它在这个平面内的 所成的 叫做这条直线和平面所成角．斜线和平面所成角，是这条斜线和平面内任一条直线所成角中 ．5．三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的 垂直，那么它也和 垂直．逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 垂直，那么它也和这条 垂直．例 1. 已知 RtABC 的斜边 BC 在平面内，A 到的距离 2，两条直角边和平面所成角分别是 45°和 30°．求：(1) 斜边上的高 AD 和平面所成的角；(2) 点 A 在内的射影到 BC 的距离．答案：(1) 60° (2)变式训练 1：如图，道旁有一条河，河对岸有电塔 AB，塔顶 A 到道路距离为 AC，且测得∠BCA＝30°，在道路上取一点 D，又测得 CD＝30m，∠CDB＝45°．求电塔 AB 的高度．解：BC＝30，AB＝BC tan30°＝10例 2．如图，矩形纸片 A1A2A3A4，B、C、B1、C1分别为 A1 A4、A2A3的三等分点，将矩形片沿BB1，CC1折成三棱柱，若面对角线 A1B1BC1；求证：A2CA1B1．解：取 A2B1中点 D1 A2C1＝B1C1 ∴C1D1⊥A2B1又 A1A2⊥面 A2B1C1 ∴C1D1⊥A1A2∴C1D1⊥面 A1A2B1B ∴BD1是 BC1在面 A2B 上的射影由 A1B1⊥BC1 ∴BD1⊥A1B1取 A1B 中点 D 同理可证 A2D 是 A2C 在面 A2B 上的射影 A2DBD1 ∴A2DBD1是平行四边形基础过关典型例题COBAB1A1 B C A4A1A2 B1 C1 A3A2C1CBDABC基础过关由 BD1⊥A1B1 ∴A1B1⊥A2D∴A2C⊥A1B1 变式训练 2：如图，在正三棱柱 ABC－A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4，M 为 AA1中点，P 是 BC 上一点，且由 P 沿棱柱侧面经过棱 CC1到 M 的最短路线长，设这条最短路线与 CC1交点 N，求：(1) PC 和 NC 的长；(2) 平面 NMP 与平面 ABC 所成二面角(锐角)大小．解：将侧面 BB1C1C 绕棱 CC1旋转 120°使其与侧面AA1C1C 在同一平面上，点 P 运动到点 P1的位置，连接 MP1，则...