第 5 课时 三垂线定理1.和一个平面相交,但不和这个平面 的直线叫做平面的斜线,斜线和平面的交点叫做 .2.射影(1) 平面外一点向平面引垂线的 叫做点在平面内的射影;(2) 过垂足和斜足的直线叫斜线在平面内的 .斜线上任意一点在平面上的射影一定在 .垂线在平面上的射影只是 .直线和平面平行时,直线在平面上的射影是和该直线 的一条直线.3.如图,AO 是平面斜线,A 为斜足,OB⊥,B为垂足,AC,∠OAB=,BAC=,∠OAC=,则 cos= .4.直线和平面所成的角平面的斜线和它在这个平面内的 所成的 叫做这条直线和平面所成角.斜线和平面所成角,是这条斜线和平面内任一条直线所成角中 .5.三垂线定理:在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的 垂直,那么它也和 垂直.逆定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条 垂直,那么它也和这条 垂直.例 1. 已知 RtABC 的斜边 BC 在平面内,A 到的距离 2,两条直角边和平面所成角分别是 45°和 30°.求:(1) 斜边上的高 AD 和平面所成的角;(2) 点 A 在内的射影到 BC 的距离.答案:(1) 60° (2)变式训练 1:如图,道旁有一条河,河对岸有电塔 AB,塔顶 A 到道路距离为 AC,且测得∠BCA=30°,在道路上取一点 D,又测得 CD=30m,∠CDB=45°.求电塔 AB 的高度.解:BC=30,AB=BC tan30°=10例 2.如图,矩形纸片 A1A2A3A4,B、C、B1、C1分别为 A1 A4、A2A3的三等分点,将矩形片沿BB1,CC1折成三棱柱,若面对角线 A1B1BC1;求证:A2CA1B1.解:取 A2B1中点 D1 A2C1=B1C1 ∴C1D1⊥A2B1又 A1A2⊥面 A2B1C1 ∴C1D1⊥A1A2∴C1D1⊥面 A1A2B1B ∴BD1是 BC1在面 A2B 上的射影由 A1B1⊥BC1 ∴BD1⊥A1B1取 A1B 中点 D 同理可证 A2D 是 A2C 在面 A2B 上的射影 A2DBD1 ∴A2DBD1是平行四边形基础过关典型例题COBAB1A1 B C A4A1A2 B1 C1 A3A2C1CBDABC基础过关由 BD1⊥A1B1 ∴A1B1⊥A2D∴A2C⊥A1B1 变式训练 2:如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1中,AB=3,AA1=4,M 为 AA1中点,P 是 BC 上一点,且由 P 沿棱柱侧面经过棱 CC1到 M 的最短路线长,设这条最短路线与 CC1交点 N,求:(1) PC 和 NC 的长;(2) 平面 NMP 与平面 ABC 所成二面角(锐角)大小.解:将侧面 BB1C1C 绕棱 CC1旋转 120°使其与侧面AA1C1C 在同一平面上,点 P 运动到点 P1的位置,连接 MP1,则...