第 4 讲 数学归纳法考情分析1．数学归纳法的原理及其步骤．2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．基础知识数学归纳法的一般步骤：（1）证明当取第一个值（）时命题成立（2）假设时命题成立，证明当时命题也成立。只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立。注：证明当时，必需用到假设的结论。第一步中验证=，其中不一定是 1，看题目的要求，有时可能是 2 或 3 等。 注意事项1.数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，第一步是递推的“基础”第二步是递推的“依据”，两个步骤缺一不可，在证明过程中要防范以下两点：(1)第一步验证 n＝n0时，n0不一定为 1，要根据题目要求选择合适的起始值．(2)第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在证明 n＝k＋1 时，命题也成立的过程中一定要用到它，否则就不是数学归纳法．第二步关键是“一凑假设，二凑结论”．2.运用数学归纳法应注意以下三点：(1)n＝n0时成立，要弄清楚命题的含义．(2)由假设 n＝k 成立证 n＝k＋1 时，要推导详实，并且一定要运用 n＝k 成立的结论．(3)要注意 n＝k 到 n＝k＋1 时增加的项数．题型一 用数学归纳法证明等式【例 1】在各项为正的数列{an}中，数列的前 n 项和 Sn满足 Sn＝(an＋)．(1)求 a1，a2，a3；(2)由(1)猜想数列{an}的通项公式，并且用数学归纳法证明你的猜想．解：(1)S1＝a1＝(a1＋)得 a＝1. an>0，∴a1＝1,由 S2＝a1＋a2＝(a2＋)，得 a＋2a2－1＝0，∴a2＝－1.又由 S3＝a1＋a2＋a3＝(a3＋)得 a＋2a3－1＝0，∴a3＝－.(2)猜想 an＝－(n∈N*)证明：①当 n＝1 时，a1＝1＝－，猜想成立．② 假设当 n＝k(k∈N*，且 k≥1)时猜想成立，即 ak＝－，则当 n＝k＋1 时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝(ak＋1＋)－(ak＋)，即ak＋1＝(ak＋1＋)－(－＋)＝(ak＋1＋)－，∴a＋2ak＋1－1＝0，∴ak＋1＝－.即 n＝k＋1 时猜想成立．由①②知，an＝－(n∈N*)．【变式 1】 用数学归纳法证明：对任意的 n∈N*，＋＋…＋＝.证明 (1)当 n＝1 时，左边＝＝，右边＝，左边＝右边，所以等式成立．(2)假设当 n＝k(k∈N*且 k≥1)时等式成立，即有＋＋…＋＝，则当 n＝k＋1 时，＋＋…＋＋＝＋＝＝＝＝，所以当 n＝k＋1 时，等式也成立．由(1)(2)可知，对一切 n∈N*等式都成立．题型二 用数学归纳法证明整除问题【例 2】试证：当 n∈N*时，f(n)＝32n＋2－8n－9 能被 64 整除．证明：(1)当 ...
