5.3 两角和与差、二倍角的三角函数典例精析题型一 三角函数式的化简【例 1】化简 cos22)2 cos2 )(sin cos sin1((0＜θ＜π).【解析】因为 0＜θ＜π，所以 0＜＜，所以原式＝2 cos2)2 cos2 )(sin2 cos22 cos2 sin2(22＝2 cos2)2 cos2 (sin2 sin222＝－cos θ.【点拨】先从角度统一入手，将 θ 化成，然后再观察结构特征，如此题中 sin2－cos2＝－cos θ.【变式训练 1】化简.【解析】原式＝＝＝＝cos 2x.题型二 三角函数式的求值【例 2】已知 sin －2cos ＝0.(1)求 tan x 的值；(2)求的值.【解析】(1)由 sin －2cos ＝0⇒tan ＝2，所以 tan x＝2 tan12 tan22 xx＝＝－.(2)原式＝＝＝＝＋1＝(－)＋1＝.【变式训练 2】＝ .【解析】原式＝＝＝.题型三 已知三角函数值求解【例 3】已知 tan(α－β)＝，tan β＝－，且 α，β∈(0，π)，求 2α－β 的值.【解析】因为 tan 2(α－β)＝＝，所以 tan(2α－β)＝tan[2(α－β)＋β]＝＝1，又 tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝，因为 α∈(0，π)，所以 0＜α＜，又＜β＜π，所以－π＜2α－β＜0，所以 2α－β＝－.【点拨】由三角函数值求角时，要注意角度范围，有时要根据三角函数值的符号和大小将角的范围适当缩小.【变式训练 3】若 α 与 β 是两锐角，且 sin(α＋β)＝2sin α，则 α 与 β 的大小关系是( )A.α＝βB.α＜β1C.α＞β D.以上都有可能【解析】方法一：因为 2sin α＝sin(α＋β)≤1，所以 sin α≤， 又 α 是锐角，所以α≤30°.又当 α＝30°，β＝60°时符合题意，故选 B.方法二：因为 2sin α＝sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＜sin α＋sin β，所以 sin α＜sin β.又因为 α、β 是锐角，所以 α＜β，故选 B.总结提高1.两角和与差的三角函数公式以及倍角公式等是三角函数恒等变形的主要工具.(1)它能够解答三类基本题型：求值题，化简题，证明题；(2)对公式会“正用”、“逆用”、“变形使用”；(3)掌握角的演变规律，如“2α＝(α＋β)＋(α－β)”等.2.通过运用公式，实现对函数式中角的形式、升幂、降幂、和与差、函数名称的转化，以达到求解的目的，在运用公式时，注意公式成立的条件.2
