10.3 空间点、线、面之间的位置关系典例精析题型一 证明三线共点【例 1】 已知空间四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、AD 的中点，G、H 分别是 BC、CD 上的点，且＝＝2.求证：直线 EG、FH、AC 相交于同一点 P.【证明】因为 E、F 分别是 AB、AD 的中点，所以 EF∥BD，且 EF＝BD.又因为＝＝2，所以 GH∥BD，且 GH＝BD，所以 EF∥GH 且 EF＞GH，所以四边形 EFHG 是梯形，其两腰所在直线必相交，设两腰 EG、FH 的延长线相交于一点 P，因为 EG⊂平面 ABC，FH⊂平面 ACD，所以 P∈平面 ABC，P∈平面 ACD.又平面 ABC∩平面 ACD＝AC，所以 P∈AC，故直线 EG、FH、AC 相交于同一点 P.【点拨】证明三线共点的方法：首先证明其中的两条直线交于一点，然后证明第三条直线是经过这两条直线的两个平面的交线；由公理 3 可知，两个平面的公共点必在这两个平面的交线上，即三条直线交于一点.【变式训练 1】如图，在四面体 ABCD 中作截面 PQR，PQ、CB 的延长线交于 M，RQ、DB 的延长线交于 N，RP、DC 的延长线交于 K. 求证：M、N、K 三点共线.【证明】KDCRPNDBRQMCBPQ⇒⇒M、N、K 在平面 BCD 与平面 PQR 的交线上，即 M、N、K 三点共线.题型二 空间直线的位置关系【例 2】 在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 是 CD 的中点，连接 AE 并延长与 BC 的延长线交于点F，连接 BE 并延长交 AD 的延长线于点 G，连接 FG.求证：直线 FG⊂平面 ABCD 且直线 FG∥A1B1.【证明】因为 E 为 CD 的中点，在正方体中 AE⊂平面 ABCD，又 AE∩BC＝F，所以 F∈AE，所以 F∈平面 ABCD，同理 G∈平面 ABCD，所以 FG⊂平面 ABCD.因为 ECAB，故在 Rt△FBA 中，CF＝BC，同理 DG＝AD，所以在正方体中 CFDG，所以四边形 CFGD 是平行四边形，所以 FG∥CD，又 CD∥AB，AB∥A1B1，所以直线 FG∥A1B1.【点拨】空间直线的位置关系，常需利用线面、面面、线线的关系确定，推导时需有理有据.【变式训练 2】已知 AC 的长为定值，点 D∉平面 ABC，点 M、N 分别是△DAB 和△DBC 的重心. 求证：无论 B、D 如何变换位置，线段 MN 的长必为定值.1【解析】如图，延长 DM 交 AB 于 F，延长 DN 交 BC 于 E.因为 M、N 为重心，所以 F、E 分别为 AB、BC 的中点，所以 EF∥AC 且 EF＝AC.又在△DEF 中，DM∶MF＝DN∶NE＝2∶1，所以 MN∥EF 且...
