3 空间点、线、面之间的位置关系典例精析题型一 证明三线共点【例 1】 已知空间四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、AD 的中点，G、H 分别是 BC、CD 上的点，且＝＝2
求证：直线 EG、FH、AC 相交于同一点 P
【证明】因为 E、F 分别是 AB、AD 的中点，所以 EF∥BD，且 EF＝BD
又因为＝＝2，所以 GH∥BD，且 GH＝BD，所以 EF∥GH 且 EF＞GH，所以四边形 EFHG 是梯形，其两腰所在直线必相交，设两腰 EG、FH 的延长线相交于一点 P，因为 EG⊂平面 ABC，FH⊂平面 ACD，所以 P∈平面 ABC，P∈平面 ACD
又平面 ABC∩平面 ACD＝AC，所以 P∈AC，故直线 EG、FH、AC 相交于同一点 P
【点拨】证明三线共点的方法：首先证明其中的两条直线交于一点，然后证明第三条直线是经过这两条直线的两个平面的交线；由公理 3 可知，两个平面的公共点必在这两个平面的交线上，即三条直线交于一点
【变式训练 1】如图，在四面体 ABCD 中作截面 PQR，PQ、CB 的延长线交于 M，RQ、DB 的延长线交于 N，RP、DC 的延长线交于 K
求证：M、N、K 三点共线
【证明】KDCRPNDBRQMCBPQ⇒⇒M、N、K 在平面 BCD 与平面 PQR 的交线上，即 M、N、K 三点共线
题型二 空间直线的位置关系【例 2】 在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 是 CD 的中点，连接 AE 并延长与 BC 的延长线交于点F，连接 BE 并延长交 AD 的延长线于点 G，连接 FG
求证：直线 FG⊂平面 ABCD 且直线 FG∥A1B1
【证明】因为 E 为 CD 的中点，在正方体中 AE⊂平面 ABCD，又 AE∩BC＝F，所以 F∈AE，所以 F∈平面 ABCD，同理
