曲线和方程（3）一．课题：曲线和方程（3）二．教学目标：1.进一步熟悉求曲线方程的一般步骤；2.明确曲线的交点与相应方程组的解之间的关系 ；3.能正确区分轨迹方程与轨迹的区别与联系。三．教学重、难点：曲线交点与曲线方程组的解的关系。四．教学过程：（一）复习：求曲线方程的一般步骤。（二）新课讲解：1．两曲线的交点坐标与相应方程组的解之间的关系：（1）已知：曲线的方程为，曲线的方程为，则；（2）的个数与的解的组数相同。特别地，与没有公共点没有解。例 1．求直线被抛物线截得的线段的中点坐标。解：，∴，，∴线段的中点坐标是．问：若将直线方程改为，结论又如何？例 2．过点 P（5，1）引直线交曲线于 A、B 两点，若点 P 恰好是线段 AB 的中点，求此直线方程。解：设所求直线方程为 ，则，显然，∴，又∵，∴，而当时，有成立，所以，所求直线方程为．例 3．用图像法求实数的取值范围，使曲线：，：有两个交点。答：．（图略）例 4．过作两互相垂直的直线和， 交 轴于点， 与轴交于点，求线段中点的轨迹方程 ．解：（法一：转移法或称相关点法）设是轨迹上任一点，设，∴，，∴，，∵若与的斜率都存在（），则，且，∴，∴若的斜率都存在，则∴若的斜率不存在，则 A（1，0），B（0，3），则中点代入方程适合。∴所求轨迹方程为．（法二：交轨法或称参数法）设的斜率为 ，则的斜率为，：，故点坐标， ：，故点坐标，设，中点坐标，∴∴，并验证斜率不存在时的情况。（法三：直接法）分析：利用四点共圆，设是轨迹上任一点，则为圆心∴，故，所以，直线方程为．五．小结：1．进一步熟悉求曲线方程的一般步骤；2．明确曲线的交点与相应方程组的解之间的关系；3．根据实际意义，写出曲线方程的制约条件。六．作业：课本第 72 页习题第 3，6，8，9 题，《数学之友》第 57 页4，1（2），补充：已知定点，是抛物线上的一个动点，求线段的中点的轨迹方程。
