新课程人教版数学必修（Ⅲ）教案§1．3 算法案例（2）秦九韶算法一、教学任务分析(1) 在学习中国古代数学中的算法案例的同时,进一步体会算法的特点。(2) 体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。二、重点与难点重点：理解秦九韶算法的思想。 难点：用循环结构表示算法步骤。三、教学情境设计 (1) 设计求多项式 f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7 当 x=5 时的值的算法，并写出程序。学生提出一般的解决方案，如：x=5f=2 * x^5 – 5 * x^4 – 4 * x^3 + 3 * x^2 – 6 * x + 7PRINT“f=”；fEND教师点评：上述算法一共做了解 15 次乘法运算，5 次加法运算，优点是简单，易懂。缺点是不通用，不能解决任意多项式的求值问题，而且计算效率不高。（2）有没有更高效的算法？师：计算 x 的幂时，可以利用前面的计算结果，以减少计算量，即先计算 x2，然后依次计算x2.x，（x2.x）.x， (（x2.x）.x).x 的值,这样计算上述多项式的值,一共需要多少次乘法，多少次加法?第二种做法与第一种做法相比，乘法的运算次数减少了，因而能提高运算效率，而且对于计算机来说，做一次乘法所需的运算时间比做一次加法要长得多，因此第二种做法更快地得到结果。(3)能否探索更好的算法，解决任意多项式的求值问题?教师引导学生把多项式变形为：f(x)= 2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7并提问：从内到外，如果把每一个括号都看成一个常数，那么变形后的式子中有哪些“一次式”？x 的系数依次是什么？（4）若将 x 的值代入变形后的式子中，那么求值的计算过程是怎样的?师：计算的过程可以列表表示为：多项式 x 系数2-5-43-67运算 10251055402670+变形后 x 的"系数"25211085342677*5最后的系数 2677 即为所求的值,让学生描述上述计算过程师：指出这种算法就是“秦九韶算法”，同时介绍秦九韶的生平。(5)用秦九韶算法求多项式的值，与多项式的组成有直接关系吗？用秦九韶算法计算上述多项式的值，需要多少次乘法运算和多少次加法运算?教师引导学生发现在求值的过程中，计算只与多项式的系数有关，让学生统计所进行的乘法和加法运算的次数。(6) 秦九韶算法适用一般的多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0的求值问题吗?师:怎样用秦九韶算法求一般多项式 f(x)= anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0当 x=x0时的值?教师引导学生思考，把 n 次多项式的求值问题转化成求 n 个一次多项式的值的问题，即求v1=anx+an-1v2=v1x+an-2v3=...
