大学数学-2003天津市理工高等数学竞赛真题答案

2024 年天津市大学数学竞赛试题参考答案（理工类）一、填空：（本题 15 分，每空 3 分。请将最终结果填在相应的横线上面。）1．设对一切实数 x 和 y,恒有，且知，则 。2．设 在 x = 0 处连续，则 a = 。3 ． 设， 其 中是 由 方 程所 确 定 的 隐 函 数 ， 则 。4． 。5 ． 曲 线在 点 M (1,1,1) 处 的 切 线 方 程 为 （ 或）。二、选择题：（本题 15 分，每小题 3 分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）1． 当时，下列无穷小量① ； ② ；③ ； ④ ，从低阶到高阶的排列顺序为（ D ）（A） ①②③④； （B） ③①②④；（C） ④③②①； （D） ④②①③。2． 设，在 x = 0 处存在最高阶导数的阶数为（ B ）（A） 1 阶； （B） 2 阶； （C） 3 阶； （D）4 阶。3． 设函数在 x = 1 处有连续的导函数，又，则 x = 1 是（ B ）（A）曲线拐点的横坐标； （B）函数的微小值点；（C）函数的极大值点； （D）以上答案均不正确。4． 设 函 数 f ， g 在 区 间 [a ， b] 上 连 续 ， 且（ m 为 常 数 ） ， 则 曲 线和 x = b 所围平面图形绕直线 y = m 旋转而成的旋转体体积为（ A ）(A) ； (B) ；(C) ； (D) 。5． 设，为在第一卦限中的部分，则有（ C ）（A）； （B）；（C）； （D）。三、a，b，c 为何值时，下式成立。（本题 6 分）解：注意到左边的极限中，无论 a 为何值总有分母趋于零，因此要想极限存在，分子必须为无穷小量，于是可知必有 b= 0，当 b= 0 时使用诺必达法则得到，由上式可知：当时，若，则此极限存在，且其值为 0；若 a = 1，则。综上所述，得到如下结论：，b = 0，c = 0；或 a = 1，b = 0，c = －2。四、设函数，其中具有连续二阶导函数，且。⑴ 确定 a 的值，使在点 x = 0 处可导，并求。⑵ 讨论在点 x = 0 处的连续性。（本题 8 分）解：⑴ 欲使在点 x = 0 处可导，在点 x = 0 处必须连续，于是有即当时，在点 x = 0 处连续。当时，；当 x = 0 时，故：。⑵ 因为所以，在点 x = 0 处连续。五、设正值函数在上连续，求函数的最小值点。（本题 6 分）解：注意到：在上，因此，当 x > 1 时，。命：...