大学数学-2024天津市l理工高等数学竞赛真题答案

2024 年 天津市大学数学竞赛试题参考解答 (理工类)一. 填空题（本题 15 分，每小题 3 分）:1.设是连续函数, 且, 则 2.设 , 若 则 3. 4.设是连续函数, 且其中由 x 轴、y 轴以及直线围成, 则 5.椭球面平行于平面的切平面方程为 和 二. 选择题（本题 15 分，每小题 3 分）:1.设 则在处(A), (B) , (C) , (D) 不可导. 答: (A)2.设函数具有二阶导数, 且满足方程已知则(A) 在 的某个邻域中单调增加, (B) 在 的某个邻域中单调增少, (C) 在处取得微小值, (D) 在处取得极大值. 答: ( C) 3. 图中曲线段的方程为, 函数在区间上有连续的导数, 则积分 表示 (A) 直角三角形 AOB 的面积, (B) 直角三角形 AOC 的面积, (C) 曲边三角形 AOB 的面积, (D) 曲边三角形 AOC 的面积. 答: (D)4. 设在区间 上的函数 且 令 则(A) (B) (C) (D) 答: (C ) 5. 设 曲面取上侧为正, 是 在 的部分, 则曲面积分(A) (B) (C) (D) 答: (B) 三. (6 分) 设函数 其中函数处处连续. 讨论在处的连续性及可导性. 解 因此, 在处连续. 因此, 在处可导, 且 四. (6 分) 设函数由方程确定, 又函数由方程确定, 求复合函数的导数解 方程两边对 求导 当 t=0 时, x=0, 故 方程 两边对 x 求导 当 时, 故 因此, 五.(6 分) 设函数在上二阶可导，且，记，求的导数，并讨论在处的连续性.解 由已知的极限知 从而有 当 时, 从而有 因为 所以, 在处连续. 当 时, 在处, 由 有 所以, 而 故 在处连续.六.(7 分) 设函数在上可导, 且满足: (Ⅰ) 讨论在区间的单调性和曲线的凹凸性. (Ⅱ) 求极限 解 (Ⅰ) 当时, 有 故 在区间单调增加. 从而当时, 也单调增加. 可见, 曲线在区间向下凸.(或当时, 可得 可见, 曲线在区间向下凸. ) (Ⅱ) 由题设知, 应用洛必达法则 七. (7 分) 设在上具有连续导数, 且 试证 证 令 则 在 连续, 且对 , 又由题设知, 当时, 令 则在上连续, 且 故有 因此 于是在上单调增加, 取, 即得 所证结论成立.八. (7 分) 设函数具有二阶导数, 且 直线是曲线上任意一点处的切线, 其中 记直线与曲线以及直线所围成的图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积为 试问为何值时取得最小值. 解 切线的方程为 即 于是 可见, 在连续, 在可导. 令 ,由于 在内有唯一的驻点 并且, 当 时, ; 当...