§12.3 几何概型1. 几何概型的定义事件 A 理解为区域 Ω 的某一子区域 A,A 的概率只与子区域 A 的几何度量 ( 长度、面积 或体积 ) 成正比,而与 A 的位置和形状无关,满足以上条件的试验称为几何概型.2. 几何概型的概率公式P(A)=,其中 μΩ 表示区域 Ω 的几何度量,μA 表示子区域 A 的几何度量.1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零.( √ )(2)几何概型中,每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一点被取到的机会相等.( √ )(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.( √ )(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.( √ )2. 一个路口的红绿灯,红灯的时间为 30 秒,黄灯的时间为 5 秒,绿灯的时间为 40 秒,则某人到达路口时看见的是红灯的概率是 ( )A. B. C. D.答案 B解析 以时间的长短进行度量,故 P==.3. 点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点,若在该圆周上随机取一点 B,则劣弧的长度小于 1 的概率为________.答案 解析 如图可设=1,则由几何概型可知其整体事件是其周长 3,则其概率是.4. 在区间[-1,2]上随机取一个数 x,则 x∈[0,1]的概率为________.答案 解析 如图,这是一个长度型的几何概型题,所求概率 P==.5. 已知直线 y=x+b,b∈[-2,3],则直线在 y 轴上的截距大于 1 的概率是________.答案 解析 区域 D 为区间[-2,3],d 为区间(1,3],而两个区间的长度分别为 5,2.故所求概率P=.题型一 与长度、角度有关的几何概型例 1 (1)在区间[-1,1]上随机取一个数 x,求 cos x 的值介于 0 到之间的概率.(2)如图所示,在△ABC 中,∠B=60°,∠C=45°,高 AD=,在∠BAC 内作射线 AM 交BC 于点 M,求 BM<1 的概率.思维启迪 (1)cos x 介于 0 到之间转化为-1