选修 4－4 坐标系与参数方程第 2 课时 不等式证明的基本方法(对应学生用书(理)200～202 页)考情分析考点新知证明不等式的基本方法．① 了解证明不等式的基本方法：比较法，综合法，分析法，反证法，换元法，数学归纳法，放缩法.② 能用比较法，综合法，分析法证明简单的不等式.1. 设 a、b∈R＋，试比较与的大小．解： ()2－＝≥0，∴ ≥.2. 若 a、b、c∈R＋，且 a＋b＋c＝1，求＋＋的最大值．解：(1·＋1·＋1·)2≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3，即＋＋的最大值为.3. 设 a、b、m∈R＋，且<，求证：a＞b.证明：由<，得－＝＜0.因为 a、b、m∈R＋，所以 b－a＜0，即 b＜a.4. 若 a、b∈R＋，且 a≠b，M＝＋，N＝＋，求 M 与 N 的大小关系．解： a≠b，∴ ＋>2，＋>2，∴ ＋＋＋>2＋2，即＋>＋，即 M>N.5. 用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>(n>1，n∈N*)的过程中，用 n＝k＋1 时左边的代数式减去 n＝k 时左边的代数式的结果是 A，求代数式 A.解：当 n＝k 时，左边＝＋＋…＋，n＝k＋1 时，左边＝＋＋…＋，故左边增加的式子是＋－，即 A＝.1. 不等式证明的常用方法(1) 比较法：比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用方法，基本不等式就是用比较法证得的．比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负．比较法证明不等式的步骤：作差(商)、变形、判断符号．其中的变形主要方法是分解因式、配方，判断过程必须详细叙述．(2) 综合法：综合法就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直到推出要证明的结论，即为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，常常用到基本不等式．(3) 分析法：分析法就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，直至推出显然成立的不等式，即为“执果索因”．2. 不等式证明的其他方法和技巧(1) 反证法1从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定结论是正确的证明方法．(2) 放缩法欲证 A≥B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得 A≥C1≥C2≥…≥Cn≥B，利用传递性达到证明的目的．(3) 数学归纳法[备课札记]2题型 1 用比较法证明不等式例 1 求证：a2＋b2≥ab＋a＋b－1.证明： (a2＋b2)－(ab＋a＋b－1)＝a2＋b2－ab－a－b＋1＝(2a2＋2b2－2ab－2a－2b＋2)＝[(a2－2ab＋b2)＋(a2－2a＋1)＋(b2－2b＋1)]＝[(a－b)2＋(a－1)2＋(b－1)2]...
