云 南 省 2010 届 高 三 二 轮 复 习 专 题 （ 十 八 ）题目 高中数学复习专题讲座关于不等式证明的常用方法高考要求 不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合 高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，纯不等式的证明，历来是高中数学中的一个难点，本节着重培养考生数学式的变形能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力 重难点归纳 1 不等式证明常用的方法有 比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法 (1)比较法证不等式有作差( 商) 、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述 如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证 (2)综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野 2 不等式证明还有一些常用的方法 换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等 换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性 放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查 有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法 凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法 证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点 典型题例示范讲解 例1 证明不等式nn2131211(n∈N*)命题意图 本题是一道考查数学归纳法、不等式证明的综合性题目，考查学生观察能力、构造能力以及逻辑分析能力 知识依托 本题是一个与自然数n 有关的命题，首先想到应用数学归纳法，另外还涉及不等式证明中的放缩法、构造法等 错解分析 此题易出现下列放缩错误 1111111223nnnnnnnnn 个这样只注重形式的统一，而忽略大小关系的错误也是经常发生的 技巧与方法 本题证法一采用数学归纳法从n=k 到n=k+1 的过渡采用了放缩法 证法二先放缩，后裂项，有的放矢，直达目标 而证法三运用函数思想，借助单调性，独具匠心，发人深省 证法一 (1)当n 等于1 时，不等式左端等于1 ，右端等于2 ，所以不等式成立 (2)假设n=k(k≥1)时，不等式成立，即1+k13121＜2k，,1211)1(11)1(21121131...
