课时分层作业十六导数的综合应用一、选择题(每小题5分,共25分)1.若不等式2xlnx≥-x2+ax-3对x∈(0,+∞)恒成立,则实数a的取值范围是()A.(-∞,0)B.(-∞,4]C.(0,+∞)D.[4,+∞)【解析】选B.2xlnx≥-x2+ax-3,则a≤2lnx+x+,设h(x)=2lnx+x+(x>0),则h′(x)=.当x∈(0,1)时,h′(x)<0,函数h(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,h′(x)>0,函数h(x)单调递增,所以h(x)min=h(1)=4,所以a≤h(x)min=4.2.(2018·长沙模拟)已知函数f(x)=,若对任意的x∈[1,2],f′(x)·x+f(x)>0恒成立,则实数t的取值范围是()A.(-∞,]B.C.D.[,+∞)【解析】选B.因为f′(x)=,所以对任意的x∈[1,2],f′(x)·x+f(x)>0恒成立⇔对任意的x∈[1,2],>0恒成立⇔对任意的x∈[1,2],2x2-2tx+1>0恒成立⇔t<=x+恒成立,又g(x)=x+在[1,2]上单调递增,所以g(x)min=g(1)=,所以t<.3.若0
lnx2-lnx1B.-x1D.x2g(x2),即>,所以x2>x1.4.(2018·襄阳模拟)若存在x∈(-1,1],使得不等式e2x-ax,求出f(x)=在(-1,1]上的最小值即可得出a的范围.【解析】选B.因为e2x-ax在(-1,1]上有解,令f(x)=,x∈(-1,1],则a>f(x)min.则f′(x)=,所以当x∈时,f′(x)<0,当x∈时,f′(x)>0,所以f(x)在上单调递减,在上单调递增,所以当x=-时,f(x)取得最小值f=.所以a>.5.(2018·南昌模拟)已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x),满足f′(x)0.二、填空题(每小题5分,共15分)6.若存在正数x,使2x(x-a)<1成立,则实数a的取值范围是________.【解析】由2x(x-a)<1得x-a<,即a>x-,即存在正数x使a>x-成立即可,令h(x)=x-(x>0),则h(x)为增函数,所以当x>0时,h(x)>h(0)=0-=-1,所以a>h(x)min,即a>-1,即a的取值范围是(-1,+∞).答案:(-1,+∞)7.(2018·西安模拟)下列说法中,正确的有______(把所有正确的序号都填上).①∃x0∈R,使>3的否定是∀x∈R,使2x≤3;②函数y=sinsin的最小正周期是π;③命题“若函数f(x)在x=x0处有极值,则f(x0)=0”的否命题是真命题;④函数f(x)=2x-x2的零点有2个.【解析】由特称命题的否定可知说法①正确;由于函数y=sinsin=sincos=sin,其周期为,故说法②错;根据导数与极值的关系可知命题“若函数f(x)在x=x0处有极值,则f′(x0)=0”为真命题,故说法③错;由于f′(x)=2xln2-2x,当x<0时恒有f′(x)>0,即函数f(x)在(-∞,0)上单调递增,又因为f(-1)·f(0)=×1<0,所以函数f(x)在(-1,0)上存在一个零点,还有f(2)=0,f(4)=0,所以函数f(x)在R上共有3个零点,故④错.答案:①8.在平面直角坐标系xOy中,直线l与函数f(x)=2x2+a2(x>0)和g(x)=2x3+a2(x>0)均相切(其中a为常数),切点分别为A(x1,y1)和B(x2,y2),则x1+x2的值为________.【解析】因为f(x)=2x2+a2(x>0),所以f′(x)=4x,所以f′(x1)=4x1,所以曲线f(x)=2x2+a2(x>0)在点A(x1,y1)处的切线方程为y-(2+a2)=4x1(x-x1),即y=4x1x-2+a2.同理,曲线g(x)=2x3+a2(x>0)在点B(x2,y2)处的切线方程为y=6x-4+a2.由题意可得,两条切线相同,故整理得结合x1>0,x2>0解得所以x1+x2=+=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=lnx-ex-a+a(e是自然对数的底数).(1)当a=0时,求证:f(x)<-2.(2)若函数f(x)有两个零点,求a的取值范围.【解析】(1)当a=0时,f′(x)=-ex,令f′(x)=0,得x=x0∈,即=,两边取对数得lnx0=-x0,且f(x)在(0,x0)上单增,在(x0,+∞)上单减,所以f(x)max=lnx0-=-x0-=-<-2.(2)f′(x)=-ex-a,故等价于f(x)在(0,+∞)上有唯...
