云南省2010届高三数学二轮复习专题教案（四十五）

云 南 省 2010 届 高 三 二 轮 复 习 数 学 专 题 教 案（ 四 十 五 ）数列通项公式的求法（二）四、待定系数法（构造法）求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高。通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。1 、通过分解常数，可转化为特殊数列{an+k} 的形式求解。一般地，形如a1n=p an+q（p≠1，pq≠0 ）型的递推式均可通过待定系数法对常数 q 分解法：设 a1n+k=p （an+k）与原式比较系数可得pk－k=q ，即k=1pq，从而得等比数列{an+k} 。例12、数列{a n } 满足a 1=1，a n= 21 a1n+1（n≥2），求数列{a n } 的通项公式。解：由a n= 21 a1n+1（n≥2）得a n－2= 21（a1n－2 ），而a 1－2=1 －2=－1 ，∴数列{ a n －2}是以 21为公比，－1 为首项的等比数列∴a n－2=－（ 21）1n ∴a n=2－（ 21）1n说明：这个题目通过对常数1 的分解，进行适当组合，可得等比数列{ an－2}，从而达到解决问题的目的。例13、数列{an } 满足a1=1，0731nnaa, 求数列{an } 的通项公式。解：由0731nnaa得37311nnaa设a)(311kaknn，比较系数得373 kk解得47k∴{47na} 是以31为公比，以43471471a为首项的等比数列∴1)31(4347nna1)31(4347nna例 14．已知数列 na满足11 a，且132nnaa ，求na ．解：设)(31tatann，则1231ttaann，用心 爱心 专心)1(311nnaa1na是 以)1(1 a为 首 项 , 以 3 为 公 比 的 等 比 数 列 111323)1(1nnnaa1321 nna点评：求递推式形如qpaann1（p、q 为常数）的数列通项，可用迭代法或待定系数法构造新数列)1(11pqappqann来求得,也可用“归纳—猜想—证明”法来求，这也是近年高考考得很多的一种题型．例 15．已知数列 na满足11 a，123nnnaa )2( n，求na ．解：将123nnnaa两边同除n3 ，得nnnnaa321311133213nnnnaa设nnnab3，则1321nnbb．令)(321tbtbnntbbnn31321 3t．条件可化成)3(323...