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高考数学总复习第九章 平面解析几何第11课时 直线与圆锥曲线的综合应用VIP免费

高考数学总复习第九章 平面解析几何第11课时 直线与圆锥曲线的综合应用_第1页
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考情分析考点新知会求定点、定值、最值等问题;掌握函数与方程等价转换、分类讨论等思想方法.掌握圆锥曲线的简单应用.1.(选修11P44习题4改编)以双曲线-=1的中心为顶点,且以该双曲线的右焦点为焦点的拋物线方程是__________.答案:y2=12x解析:双曲线-=1的中心为O(0,0),该双曲线的右焦点为F(3,0),则拋物线的顶点为(0,0),焦点为(3,0),所以p=6,所以拋物线方程是y2=12x.2.以双曲线-3x2+y2=12的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆的方程是________.答案:+=1解析:双曲线方程可化为-=1,焦点为(0,±4),顶点为(0,±2).∴椭圆的焦点在y轴上,且a=4,c=2,此时b=2,∴椭圆方程为+=1.3.若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合,则p=________.答案:4解析:椭圆+=1的右焦点(2,0)是抛物线y2=2px的焦点,所以=2,p=4.4.已知双曲线x2-=1的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一点,则PA1·PF2的最小值为________.答案:-2解析:设点P(x,y),其中x≥1.依题意得A1(-1,0),F2(2,0),由双曲线方程得y2=3(x2-1).PA1·PF2=(-1-x,-y)·(2-x,-y)=(x+1)(x-2)+y2=x2+y2-x-2=x2+3(x2-1)-x-2=4x2-x-5=4-,其中x≥1.因此,当x=1时,PA1·PF2取得最小值-2.5.已知椭圆C:+y2=1的两焦点为F1,F2,点P(x0,y0)满足+y≤1,则PF1+PF2的取值范围为________.答案:[2,2]解析:当P在原点处时,PF1+PF2取得最小值2;当P在椭圆上时,PF1+PF2取得最大值2,故PF1+PF2的取值范围为[2,2].1.圆锥曲线的统一定义平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于常数e的轨迹.当01时,它表示双曲线;当e=1时,它表示抛物线.2.曲线的方程与方程的曲线在直角坐标系中,如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线C上,那么,这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线(图形).3.平面解析几何研究的两个主要问题(1)根据已知条件,求出表示曲线的方程;(2)通过曲线的方程研究曲线的性质.4.求曲线方程的一般方法(五步法)求曲线(图形)的方程,一般有下面几个步骤:(1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;(2)写出适合条件p的点M的集合P={M|p(M)};(3)用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;(4)化方程f(x,y)=0为最简形式;(5)说明已化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.题型1最值问题例1如图,椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,其左焦点到点P(2,1)的距离为.不过原点O的直线l与C相交于A,B两点,且线段AB被直线OP平分.(1)求椭圆C的方程;(2)求△ABP面积取最大值时直线l的方程.解:(1)设椭圆左焦点为F(-c,0),则由题意得得所以椭圆方程为+=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为M.当直线AB与x轴垂直时,直线AB的方程为x=0,与不过原点的条件不符,舍去.故可设直线AB的方程为y=kx+m(m≠0),由消去y,整理得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,①则Δ=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)>0,所以线段AB的中点为M.因为M在直线OP:y=x上,所以=,得m=0(舍去)或k=-.此时方程①为3x2-3mx+m2-3=0,则Δ=3(12-m2)>0,所以AB=·|x1-x2|=·,设点P到直线AB的距离为d,则d==.设△ABP的面积为S,则S=AB·d=·.其中m∈(-2,0)∪(0,2).令u(m)=(12-m2)(m-4)2,m∈[-2,2],u′(m)=-4(m-4)(m2-2m-6)=-4(m-4)·(m-1-)(m-1+).所以当且仅当m=1-时,u(m)取到最大值.故当且仅当m=1-时,S取到最大值.综上,所求直线l的方程为3x+2y+2-2=0.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆的中心在原点O,右焦点F在x轴上,椭圆与y轴交于A、B两点,其右准线l与x轴交于T点,直线BF交椭圆于C点,P为椭圆上弧AC上的一点.(1)求证:A、C、T三点共线;(2)如果BF=3FC,四边形APCB的面积最大值为,求此时椭圆的方程和P点坐标.(1)证明:设椭圆方程为+=1(a>b>0)①,则A(0,b),B(0,-...

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