高考数学总复习第九章 平面解析几何第11课时 直线与圆锥曲线的综合应用VIP免费

考情分析考点新知会求定点、定值、最值等问题；掌握函数与方程等价转换、分类讨论等思想方法．掌握圆锥曲线的简单应用.1.(选修11P44习题4改编)以双曲线－＝1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的拋物线方程是__________．答案：y2＝12x解析：双曲线－＝1的中心为O(0，0)，该双曲线的右焦点为F(3，0)，则拋物线的顶点为(0，0)，焦点为(3，0)，所以p＝6，所以拋物线方程是y2＝12x.2.以双曲线－3x2＋y2＝12的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的方程是________．答案：＋＝1解析：双曲线方程可化为－＝1，焦点为(0，±4)，顶点为(0，±2)．∴椭圆的焦点在y轴上，且a＝4，c＝2，此时b＝2，∴椭圆方程为＋＝1.3.若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p＝________．答案：4解析：椭圆＋＝1的右焦点(2，0)是抛物线y2＝2px的焦点，所以＝2，p＝4.4.已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则PA1·PF2的最小值为________．答案：－2解析：设点P(x，y)，其中x≥1.依题意得A1(－1，0)，F2(2，0)，由双曲线方程得y2＝3(x2－1).PA1·PF2＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝(x＋1)(x－2)＋y2＝x2＋y2－x－2＝x2＋3(x2－1)－x－2＝4x2－x－5＝4－，其中x≥1.因此，当x＝1时，PA1·PF2取得最小值－2.5.已知椭圆C：＋y2＝1的两焦点为F1，F2，点P(x0，y0)满足＋y≤1，则PF1＋PF2的取值范围为________．答案：[2，2]解析：当P在原点处时，PF1＋PF2取得最小值2；当P在椭圆上时，PF1＋PF2取得最大值2，故PF1＋PF2的取值范围为[2，2]．1.圆锥曲线的统一定义平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于常数e的轨迹．当01时，它表示双曲线；当e＝1时，它表示抛物线．2.曲线的方程与方程的曲线在直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线C上，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线(图形)．3.平面解析几何研究的两个主要问题(1)根据已知条件，求出表示曲线的方程；(2)通过曲线的方程研究曲线的性质．4.求曲线方程的一般方法(五步法)求曲线(图形)的方程，一般有下面几个步骤：(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；(2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}；(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式；(5)说明已化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.题型1最值问题例1如图，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距离为.不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．(1)求椭圆C的方程；(2)求△ABP面积取最大值时直线l的方程．解：(1)设椭圆左焦点为F(－c，0)，则由题意得得所以椭圆方程为＋＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M.当直线AB与x轴垂直时，直线AB的方程为x＝0，与不过原点的条件不符，舍去．故可设直线AB的方程为y＝kx＋m(m≠0)，由消去y，整理得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，①则Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＞0，所以线段AB的中点为M.因为M在直线OP：y＝x上，所以＝，得m＝0(舍去)或k＝－.此时方程①为3x2－3mx＋m2－3＝0，则Δ＝3(12－m2)＞0，所以AB＝·|x1－x2|＝·，设点P到直线AB的距离为d，则d＝＝.设△ABP的面积为S，则S＝AB·d＝·.其中m∈(－2，0)∪(0，2)．令u(m)＝(12－m2)(m－4)2，m∈[－2，2]，u′(m)＝－4(m－4)(m2－2m－6)＝－4(m－4)·(m－1－)(m－1＋)．所以当且仅当m＝1－时，u(m)取到最大值．故当且仅当m＝1－时，S取到最大值．综上，所求直线l的方程为3x＋2y＋2－2＝0.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的中心在原点O，右焦点F在x轴上，椭圆与y轴交于A、B两点，其右准线l与x轴交于T点，直线BF交椭圆于C点，P为椭圆上弧AC上的一点．(1)求证：A、C、T三点共线；(2)如果BF＝3FC，四边形APCB的面积最大值为，求此时椭圆的方程和P点坐标．(1)证明：设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)①，则A(0，b)，B(0，－...