第六章 《不等式》小结一、本章主要内容 知识结构 （二）不等式的性质 1、基本性质：（1）可加性（移项法则）；（2）可乘性（变号法则）；（3）幂及方根性质；（4）倒数性质等。不等式的性质是证明不等式及解不等式的依据。对于不等式的性质，关键是掌握其成立的条件及不等号的方向。应注意运用转化思想，将条件不满足的不等式运算转化为不等式的性质，如两个不等式两边均为负数，其乘法法则如何。 （三）不等式的证明 1、不等式证明的依据：（1）不等式的性质；（2）基本不等式：a2+b2≥2ab（a、b∈R），≥（a>0，b>0，c>0）；（3）实数性质，如 a2≥0（a∈R）等。在运用基本不等式时，应注意公式的变形使用，如由≥得 ab≤，由 a2+b2≥2ab 得ab≤。2、不等式证明的方法（1）常规方法：比较法（比差、比商），综合法、分析法。 （2）特殊方法：换元法（三角换元、差值换元、均值换元）、放缩法（单调性）、反证法、判别式法。对于较复杂的不等式的证明，通常用分析法去想，以综合法去写。不等式证明方法选择的一般规律是：先考虑能否用综合法，其必要条件有：元素是否为正实数，式子结构是否为和或积的形式等，其次考虑比较法，特别是不等式两边都是整式或分式时，再次考虑用分析法，最后根据题设特征，选用特殊方法，总之在选择方法时，应紧扣不等式的结构特点及不等号方向。对于表达形式过于复杂的题目，也可先等价变形（化简），再去证明。 （四）不等式的解法解不等式是寻找使不等式成立的充要条件，在这一点上，与证明不等式有本质区别。一元一次不等式（组）是解不等式的基础，一元二次不等式、高次不等式及分式不等式均可向其转化。解含字母的不等式应注意分类讨论。解一元二次不等式过程中，应充分联系二次函数及二次方程。 （五）绝对值不等能利用三角形不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|及绝对值的基本性质如|a|≥0，|a|≥a，|a|≥-a，a∈R 及运算性质（乘、除）证明含绝对值的不等式。 （六）作为基本不等式的应用，熟练掌握运用基本不等式求二元或二元以上函数及高次函数的最值，体会等与不等的辩证关系。 二、典型例题1 例 1、求函数的定义域和值域。解题思路分析：求定义域，就是解关于 x 的不等式：≥0；根据分式函数的结构特点，考虑用基本不等式性质求最值。 ≥0∴ ≥0得该分式不等式的解为，或 x≥0∴ 函数定义域为()∪[0,+∞)在定义域的基础上，先求函数的值域。当 x=0 时，y=0当 x≠0 时，当 ...
