第 2 课时 案例 2 秦九韶算法导入新课 思路 1（情境导入） 大家都喜欢吃苹果吧，我们吃苹果都是从外到里一口一口的吃，而虫子却是先钻到苹果里面从里到外一口一口的吃，由此看来处理同一个问题的方法多种多样 .怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1 当 x=5 时的值呢？方法也是多种多样的，今天我们开始学习秦九韶算法. 思路 2（直接导入） 前面我们学习了辗转相除法与更相减损术， 今天我们开始学习秦九韶算法.推进新课新知探究提出问题（1）求多项式 f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1 当 x=5 时的值有哪些方法？比较它们的特点.（2）什么是秦九韶算法？（3）怎样评价一个算法的好坏？讨论结果：（1）怎样求多项式 f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1 当 x=5 时的值呢？ 一个自然的做法就是把 5 代入多项式 f(x)，计算各项的值，然后把它们加起来，这时，我们一共做了 1+2+3+4=10 次乘法运算，5 次加法运算. 另一种做法是先计算 x2的值，然后依次计算 x2·x，（x2·x）·x，（（x2·x）·x）·x 的值，这样每次都可以利用上一次计算的结果，这时，我们一共做了 4 次乘法运算，5 次加法运算. 第二种做法与第一种做法相比，乘法的运算次数减少了，因而能够提高运算效率，对于计算机来说，做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长得多，所以采用第二种做法，计算机能更快地得到结果.（2）上面问题有没有更有效的算法呢？我国南宋时期的数学家秦九韶（约 1202~1261）在他的著作《数书九章》中提出了下面的算法： 把一个 n 次多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0改写成如下形式：f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=（anxn-1+an-1xn-2+…+a1）x+ a0=（（anxn-2+an-1xn-3+…+a2）x+a1)x+a0=…=（…（（anx+an-1）x+an-2）x+…+a1）x+a0.求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1=anx+an-1，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2=v1x+an-2，v3=v2x+an-3，…vn=vn-1x+a0，这样，求 n 次多项式 f（x）的值就转化为求 n 个一次多项式的值.上述方法称为秦九韶算法.直到今天，这种算法仍是多项式求值比较先进的算法.（3）计算机的一个很重要的特点就是运算速度快，但即便如此，算法好坏的一个重要标志仍然是运算的次数.如果一个算法从理论上需要超出计算机允许范围内的运算次数，那么这样的算法就只能是一个理论的算法.1应用示例例 1 已知一个 5 次多项式为 f（x）=5x5+2x4+3.5x3-2.6x2+1.7x-0.8， 用秦...
