高三数学（理）一轮复习 教案 第十三编 推理与证明总第 67 期 §13.2 直接证明与间接证明基础自测1.分析法是从要证的结论出发,寻求使它成立的 条件.答案 充分2.若 a＞b＞0,则 a+ b+.(用“＞”,“＜”,“=”填空)答案 ＞3.要证明+＜2，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是 （填序号）.① 反证法② 分析法③ 综合法答案 ②4.用反证法证明命题：若整系数一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）有有理数根，那么 a、b、c中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是 .① 假设 a、b、c 都是偶数；②假设 a、b、c 都不是偶数③ 假设 a、b、c 至多有一个偶数；④假设 a、b、c 至多有两个偶数答案 ②5.设 a、b、c∈（0，+∞），P=a+b-c，Q=b+c-a，R=c+a-b，则“PQR＞0”是“P、Q、R 同时大于零”的 条件. ；答案 充要例题精讲 例 1 设 a,b,c＞0,证明：≥a+b+c.证明 a,b,c＞0，根据基本不等式，有+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c.三式相加：+++a+b+c≥2(a+b+c).即++≥a+b+c.例 2 （14 分）已知 a＞0,求证： -≥a+-2.证明 要证-≥a+-2,只要证+2≥a++.2分 a＞0,故只要证≥（a++）2, 6 分即 a2++4+4≥a2+2++2+2,8分用心 爱心 专心427从而只要证 2≥, 10 分只要证 4≥2（a2+2+）,即 a2+≥2,而该不等式显然成立，故原不等式成立.14 分例 3 若 x,y 都是正实数，且 x+y＞2,求证：＜2 与＜2 中至少有一个成立.证明 假设＜2 和＜2 都不成立，则有≥2 和≥2 同时成立，因为 x＞0 且 y＞0,所以 1+x≥2y，且 1+y≥2x，两式相加，得 2+x+y≥2x+2y，所以 x+y≤2，这与已知条件 x+y＞2 相矛盾，因此＜2 与＜2 中至少有一个成立.巩固练习 1.已知 a,b,c 为互不相等的非负数.求证：a2+b2+c2＞(++).证明 a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ac.又 a,b,c 为互不相等的非负数，∴上面三个式子中都不能取“=”，∴a2+b2+c2＞ab+bc+ac, ab+bc≥2,bc+ac≥2,ab+ac≥2,又 a,b,c 为互不相等的非负数，∴ab+bc+ac＞(++),∴a2+b2+c2＞(++).2.已知 a＞0,b＞0,且 a+b=1,试用分析法证明不等式≥.证明 要证≥,只需证 ab+≥，只需证 4(ab)2+4(a2+b2)-25ab+4≥0,只需证 4(ab)2+8ab-25ab+4≥0,只需证 4(ab)2-17ab+4≥0,即证 ab≥4 或 ab≤,只需证 ab≤，而由 1=a+b≥2,∴ab≤显然成立，所以原不等式≥成立.3.已知 a、b、c∈（0，1），求证：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 不能同时大于.证明 方法一 假设...
