日照实验高中 2007 级导学案——推理与证明2.3.1 数学归纳法(一)学习目标:了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.学习重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.学习难点：数学归纳法中递推思想的理解.自主学习:一. 知识再现1 综合法：从题设中的已知条件或已证的真实判断出发,经过一系列的中间推理,最后导出所求证的命题.综合法是一种由因所果的证明方法.2 分析法: 一般地，从要证明的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止，这种证明的方法叫做分析法．分析法是一种执果索因的证明方法.3 反证法:一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立.二. 新课探究1.定义:设是一个与正整数相关的命题集合,如果(1)证明起始命题(或)成立;(2)在假设成立的前提下，推出也成立，对一切正整数都成立.2.数学归纳法步骤:① 证明当 n 取第一个值 n0时命题成立；② 假设 n=k（k≥n0， k∈N*）时命题成立，证明当 n=k+1 时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0开始的所有正整数 n 都成立. 三. 例题解析例 1 数学归纳法证明 13＋23＋33＋…＋n3= n2（n＋1）2证明：① 当 n=1 时，左边=13=1，右边=，故等式成立．——② 假设 n=k（，且 k≥1）时等式成立．即 13＋23＋33＋…＋k 3＋=k2(k+1)2成立．——则当 n=k＋1 时，13＋23＋33＋…＋k 3＋(k+1)3= 教师备课学习笔记用心 爱心 专心=．即当 n=k＋1 时等式也成立．——综合①，②，对一切，等式都成立． 例 2．数列｛an｝的通项公式为 an=，记 f(n)=（1－a1）（1－a2）…（1－an），求 f (1)，f (2)，f (3)．推测 f (n)的表达式，并证明你的结论．解：f (1) =1－a1=1－f (2) = f (1)·（1－a2）=f (3)= f (2)·（1－a3）=——由此猜想：f（n）=——用数学归纳法证明如下：① n=1 时，已求得 f ⑴ =，又，因此猜想正确．② 设 n=k（ k≥1，）时猜想正确，即 f（ k） =正确．则当 n=k＋1 时，f（ k＋1）=f（ k）·（1－ak＋1）==即当 n=k＋1 时猜想正确．综合①，②，f（ n） =对一切都成立．课堂巩固教师备课学习笔记用心 爱心 专心1..用数学归纳法证明“1＋x＋x2＋…＋xn＋1=...
