§9.12 极坐标和曲线的极坐标方程（理）一、考试要求：内容[要求[ABC极 坐 标 与 参数方程坐标系的有关概念√简单图形的极坐标方程√极坐标方程与直角坐标方程的互化√二、知识要点：1．极坐标系的建立：在平面内取一个定点 O，叫做极点，从 O 点引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系．设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的距离 OM 叫做点 M 的极径，记为 ρ，以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角叫做点 M 的极角，记为 θ.有序数对( ρ ， θ ) 叫做点 M 的极坐标，记作 M(ρ，θ)．2．极坐标和直角坐标的互化公式：通常情况下，直角坐标化为极坐标时，取。3．直线的极坐标方程：(1)若直线过点 M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为 α，则它的方程为：ρ sin( θ － α ) ＝ ρ 0sin( θ 0－ α ) ．推导如下：如图所示，设直线 l 上任意一点为 P(ρ，θ)，在△POM 中，由正弦定理，得＝.，因为∠OMP＝π－α＋θ0，∠OPM＝α－θ，所以直线 l 的极坐标方程是 ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．(*)(2)几个特殊位置的直线的极坐标方程：θ＝α(ρ∈R)表示过极点且与极轴成 α 角的直线(如图①)；ρcos θ＝a 表示过(a,0)且垂直于极轴的直线(如图②)；ρsin θ＝b 表示过且平行于极轴的直线(如图③)．4．圆的极坐标方程： (1)若圆心为 M(ρ0，θ0)，半径为 r 的圆方程为 ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0.推导如下：如图所示，设圆上任意一点为 P(ρ，θ)，在△POM 中，由余弦定理，得 PM2＝OM2＋OP2－2OM·OPcos∠POM，故圆的极坐标方程是 ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0.(2)几个特殊位置的圆的极坐标方程ρ＝r 表示圆心在极点，半径为 r 的圆(如图①)．ρ＝2 r c os_θ 表示圆心在(r,0)，半径为 r 的圆(如图②)；ρ＝2 r sin _θ 表示圆心在，半径为 r 的圆(如图③)．1 四、典型例题：例 1：在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρcos＝1，M，N 分别为曲线 C 与 x 轴，y 轴的交点．(1)写出曲线 C 的直角坐标方程，并求 M，N 的极坐标；(2)设 M，N 的中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程．例 2：（1）在极坐标系中， 是曲线上的动点， 是曲线上的动点，试求的最大值（2...
