球面距离的推导、运用

球面距离公式的推导及应用球面上两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这段弧长叫做两点的球面距离，常见问题是求地球上两点的球面距离，下面我们运用坐标法来推导地球上两点球面距离的一个公式。地球球面上的点的位置由经度、纬度确定，我们规定东经为正，西经为负；北纬为正，南纬为负（如西经 30º 为经度 α=-30º，南纬 40º 为纬度 β=-40º ），这样可记球面上一点 A 的球面坐标为 A（经度 α，纬度 β），两标定点，清晰直观。设地球半径为 R，球面上两点 A、B 的球面坐标为 A（α1，β1），B（α2，β2），α1、α2∈[-π，π]，β1、β2∈[-， ]，如图，设过地球 O 的球面上 A 处的经线与赤道交于 C 点，过 B 的经线与赤道交于 D 点。设地球半径为 R；∠AOC=β1，∠BOD=β2，∠DOC=θ=α1-α2。另外，以 O 为原点，以 OC 所在直线为 X 轴，地轴所在直线 ON 为 Z 轴建立坐标系 O-XYZ（如图）。则 A（Rcosβ1,0,Rsinβ1）,B(Rcosβ2cos（α1-α2）,Rcosβ2sin（α1-α2）,Rsinβ2)cos∠AOB =cos〈OA，OB〉=cosβ1cosβ2cos（α1-α2）+sinβ1sinβ2 ∠AOB=arcos[cosβ1cosβ2cos（α1-α2）+sinβ1sinβ2]其中反余弦的单位为弧度。于是由弧长公式，得地球上两点球面距离公式：=R·arcos[cosβ1cosβ2cos（α1-α2）+sinβ1sinβ2] （I）由公式（I）知，求地球上两点的球面距离，不需求弦 AB，只需两点的经纬度即可。公式对求地球上任意两点球面距离都适用,特别地，A、B 两点的经度或纬度相同时，有：1、β1=β2=β，则球面距离公式为：=R·arcos[cos2βcos（α1-α2）+sin2β] （II）2、α1-α2=α，则球面距离公式为：=R·arcos（cosβ1cosβ2+sinβ1sinβ2）=R·arcoscos（β1-β2） （III）例1、设地球半径为 R，地球上 A、B 两点都在北纬 45º 的纬线上，A、B 两点的球面距离是R，A 在东经 20º，求 B 点的位置。分析：α1=20º，β1=β2=45º，由公式（II）得：R= R·arcos[cos245ºcos（20º-α2）+sin245º]cos= cos（20º-α2）+∴cos（20º-α2）=0, 20º-α2=±90º 即：α2=110º 或 α2=-70º所以 B 点在北纬 45º，东经 110º 或西经 70º例2、 （2002 年第六届北京高中数学知识应用竞赛试题）北京时间 2002 年 9 月 27 日 14点，国航 CA981 航班从首都国际机场准时起飞，当地时间 9 月 27 日 ...