《不等式选讲》复习学案 §1.2 09 年浙江各地模拟题选(1) 姓名 1．学军 已知，（1）求证：； （2）2．效实 已知关于的不等式 (I)当时，求此不等式的解集； (II)若此不等式的解集为 R，求实数的取值范围．3．瑞安 设 x , y , z > 0, x + y + z = 3 , 依次证明下列不等式, （1）( 2 –) 1； （2）； （3）++ 2. 09 年浙江各地模拟题选（2） 姓名 4．绍兴 设 x，y，z∈R，x2+y2+z2=1． (Ⅰ)求 x + y + z 的最大值； (Ⅱ) 求 x + y 的取值范围．5．温州 已知且.（1）若，求的值；(2)求证：.6．余姚 若正数满足； (Ⅰ)求证:； (Ⅱ)求的最小值.答案: 1．学军（1）证明 由二元均值不等式得 ；……… 3 分（2）证明 ∵ ，，。 ………………………………3 分∴ 。又由柯西不等式可得 …………1 分即 。∴ ， …………………………………………………………………………… 2分 （当且仅当 时取道最小值） ………………………………………………… 1 分2．效实 解：（I）当时，不等式为 所以不等式解集为 （II）不等式的解集为，即恒成立 所以实数的取值范围为3．瑞安 证: (1)由( 2 –) = – [–2 +1] +1 = (– 1)2+1 1， 得. ( 2 –) 1 . 2 分（2） =, 因为 2 + 2 + ,且( 2 –) 1， 所以 = . (1) 3 分(3) 同理可得 (2) (3) 由柯西不等式得，又对于 a, b , c> 0, 所以 (4) 2 分利用不等式(4), 由(1), (2), (3) 及已知条件 x + y + z = 3 得 ++ ++ ==2. 3 分4．绍兴 解：（I）因为 所以 有最大值 ……………………5 分 （II）解法一：因为 得 ………………10 分5．温州(1) 解: , 当且仅当,即时,上式取到等号. 由已知 (2) 证明: 又由 即 6．余姚 解: (Ⅰ)由已知易得 则, 即。 同理可得 则 -------3 分 由柯西不等式可得(当且仅当时取“”) 即有(当时取“”) 综上有 -------6 分 (Ⅱ)由，可得且均为正数 则 由柯西不等式可得 (当且仅当时取“”) 故的最小值为, 等号当时取到. -----10 分
