第二轮第18讲　平面向量与解析几何

第１８讲 平面向量与解析几何在高中数学新课程教材中，学生学习平面向量在前，学习解析几何在后，而且教材中二者知识整合的不多，很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题，不会应用平面向量去解决解析几何问题。用向量法解决解析几何问题思路清晰，过程简洁，有意想不到的神奇效果。著名教育家布鲁纳说过：学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大脑疲劳，学习兴趣衰退。这充分揭示方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，必然能引导学生拓展思路，减轻负担。一、知识整合平面向量是高中数学的新增内容，也是新高考的一个亮点。 向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形与一体，能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点。而在高中数学体系中 ，解析几何占有着很重要的地位，有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，不妨运用向量作形与数的转化，则会大大简化过程。二、例题解析例 1、（2000 年全国高考题）椭圆的焦点为 FF ，点 P 为其上的动点，当∠FP F 为钝角时，点 P 横坐标的取值范围是___。解：F1（－,0）F2（,0）,设 P（3cos,2sin）为钝角∴ =9cos2－5＋4sin2=5 cos2－1<0 解得： ∴点 P 横坐标的取值范围是（）点评：解决与角有关的一类问题，总可以从数量积入手。本题中把条件中的角为钝角转化为向量的数量积为负值，通过坐标运算列出不等式，简洁明了。例 2、已知定点 A(-1,0)和 B(1,0)，P 是圆(x-3)2+(y-4)2=4 上的一动点，求的最大值和最小值。分析：因为 O 为 AB 的中点，所以故可利用向量把问题转化为求向量的最值。解：设已知圆的圆心为 C，由已知可得：又由中点公式得所以 = = =又因为 点 P 在圆(x-3)2+(y-4)2=4 上, 所以 且 所以即 故所以的最大值为 100，最小值为 20。点评：有些解几问题虽然没有直接用向量作为已知条件出现，但如果运用向量知识来解决，也会显得自然、简便，而且易入手。例 3、（2003 年天津高考题）O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P满足，，则 P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心PCyxAo B分析：因为同向的单位向量，由向量加法的平行四边形则知是 与 ∠ ABC的 角 平 分 线 （ 射 线 ） 同 向 的 一 个 向 量 ， 又，知 P 点的...