高二数学 §2.1.3不等式的证明(3)学案 新人教A版选修4-5

§2.1.3 不等式的的证明(3)☆学习目标：1.理解并掌握反证法、换元法与放缩法;2.会利用反证法、换元法与放缩法证明不等式奎屯王新敞新疆☻知识情景： 1. 不等式证明的基本方法：10. 比差法与比商法(两正数时)． 20. 综合法和分析法． 30. 反证法、换元法、放缩法2. 综合法：从①已知条件、②不等式的性质、③基本不等式等出发, 通过逻辑推理, 推导出所要证明的结论. 这种证明方法叫做综合法. 又叫由 导 法. 用综合法证明不等式的逻辑关系：12nABBBB3. 分析法：从要证的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件, 直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等), 从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法. 这是一种执 索 的思考和证明方法. 用分析法证明不等式的逻辑关系：☻新知建构： 1.反证法：利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步 作出与所证不等式相反的假定；第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果； 第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立. 例 1 已知a + b + c > 0，a b + bc + ca > 0，a bc > 0，求证：a , b, c > 0 .2.换元法：一般由代数式的整体换元、三角换元，换元时要注意等价性. 常用的换元有三角换元有：10．已知222ayx，可设 ， ；20．已知122 yx，可设 ， (10r)；30．已知12222 byax，可设 ， . 例 2 设实数 ,x y 满足22(1)1xy ，当0xyc 时，c 的取值范围是（ ）1 .A [ 21,) .B (,21]  .C [ 21,) .D (,21] 例 3 已知221xy ，求证：2211ayaxa 3. 放缩法：“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小 由题目分析、多次尝试得出,要注意放缩的适度. 常用的方法是：①添加或舍去一些项，如：aa12，nnn )1(， ② 将分子或分母放大（或缩小） 如：2111(1)(1)n nnn n ③ 应用 “糖水不等式”：“若0ab，0m ，则 aambbm” ④ 利用基本不等式，如：2lg3 lg5()lg 4； ⑤ 利用函数的单调性 ⑥ 利用函数的有界性：如： sin x ≤1xR； ⑦ 绝对值不等式： ab≤ ab≤ ab； ⑧ 利用常用结论：如：122211kkk...