中档题规范练四1.(2016·山东菏泽二模)数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n(n+1)(n∈N+),数列{bn}满足an=+++…+.(1)求数列{bn}的通项公式;(2)令cn=(n∈N+),求数列{cn}的前n项和Tn.2.(2016·广西来宾一模)如图,四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,PA=AB=BC=1,AC=AD,点E在棱PB上,且PE=2EB.(1)求证:PD∥平面EAC;(2)求平面ACE分四棱锥两部分EABC与多面体PEACD的体积比.3.(2016·重庆南开二诊模拟)某品牌新款夏装即将上市,为了对夏装进行合理定价,在该地区的连锁店各进行了两天试销售,得到如下数据:连锁店A店B店C店售价x(元)808682888490销售量y(件)887885758266(1)以三家连锁店分别的平均售价和平均销量为散点,求出售价与销量的回归直线方程=x+;(2)在大量投入市场后,销售量与单价仍然服从(1)中的关系,且该夏装成本价为40元/件,为使该款夏装在销售上获得最大利润,该款夏装的单价应定为多少元?(保留整数)附:==,=-.4.(2016·河北衡水一模)在直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ-2sinθ,直线l的参数方程为(t为参数,a为常数).(1)求直线l的普通方程与圆C的直角坐标方程;(2)若直线l分圆C所得的两弧长度之比为1∶2,求实数a的值.5.(2016·河南开封模拟)设函数f(x)=|x-a|,a<0.(1)证明:f(x)+f(-)≥2;(2)若不等式f(x)+f(2x)<的解集非空,求a的取值范围.中档题规范练四1.解:(1)当n=1时,a1=S1=2,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n(n+1)-(n-1)n=2n,知a1=2满足该式.所以数列{an}的通项公式为an=2n.因为an=+++…+,①所以an+1=+++…++,②②-①得=an+1-an=2,bn+1=2(3n+1+1),故bn=2(3n+1)(n≥2),又由a1=可得b1=8,也满足通项公式,所以bn=2(3n+1)(n∈N+).(2)cn==n(3n+1)=n·3n+n,所以Tn=c1+c2+c3+…+cn=(1×3+2×32+3×33+…+n·3n)+(1+2+…+n).令Hn=1×3+2×32+3×33+…+n·3n,③则3Hn=1×32+2×33+3×34+…+n·3n+1,④③-④得-2Hn=3+32+33+…+3n-n·3n+1=-n·3n+1,所以Hn=,所以数列{cn}的前n项和Tn=+.2.(1)证明:由AB⊥BC,AB=BC=1,得AC=,∠BAC=,又因为AC=AD,AC⊥AD,所以CD=2,∠ACD=.所以∠BAC=∠ACD,所以AB∥CD.连接BD,交AC于点M,连接EM,则==2.又PE=2EB,在△BPD中,==2,所以PD∥EM.又PD⊄平面EAC,EM⊂平面EAC,所以PD∥平面EAC.(2)解:由PE=2EB知三棱锥EABC的高是四棱锥PABCD的高的,△ABC的面积为,四边形ABCD的面积为+1=,所以三棱锥EABC与四棱锥PABCD的体积比为×=.所以平面ACE分四棱锥两部分EABC与多面体PEACD的体积比为.3.解:(1)A,B,C三家连锁店平均售价和平均销量分别为(83,83),(85,80),(87,74),所以=85,=79,所以==-2.25.所以=-=270.25,所以=-2.25x+270.25.(2)设该款夏装的单价定为x元,利润为f(x)元,则f(x)=(x-40)(-2.25x+270.25)=-2.25x2+360.25x-10810,所以当x≈80时,f(x)取得最大值.故该款夏装的单价应定为80元.4.解:(1)圆C的极坐标方程ρ=4cosθ-2sinθ可化为ρ2=4ρcosθ-2ρsinθ,化为直角坐标方程是x2+y2=4x-2y,即(x-2)2+(y+1)2=5;直线l的参数方程为消去参数t,化为普通方程是y=-ax.(2)圆C的方程为(x-2)2+(y+1)2=5,圆心C为(2,-1),半径r=,直线l的方程为y=-ax,即ax+y-=0,直线l将圆C分成弧长之比为1∶2的两段圆弧,所以直线l被圆截得的弦所对的圆心角为120°,所以圆心C到直线l的距离d=r=,即=,整理得11a2-24a+4=0,解得a=2或a=.5.(1)证明:函数f(x)=|x-a|,a<0,则f(x)+f(-)=|x-a|+|--a|=|x-a|+|+a|≥|(x-a)+(+a)|=|x+|=|x|+≥2=2.即证f(x)+f(-)≥2.(2)解:令g(x)=f(x)+f(2x)=|x-a|+|2x-a|,a<0.当x≤a时,g(x)=a-x+a-2x=2a-3x,则g(x)≥-a;当a-,解得a>-1,由于a<0,则a的取值范围是(-1,0).
