A'B'C'D'DCBAO1.3.2 球的体积和表面积一．学习目标：了解球的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）；能运用球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.二．重点、难点： 重点： 难点：三．知识要点：1. 表面积： （R：球的半径）. 2. 体积：.四．自主探究：（一）例题精讲：【例 1】有一种空心钢球，质量为，测得外径等于，求它的内径（钢的密度为，精确到）．解：设空心球内径(直径)为，则钢球质量为，∴， ∴，∴直径，即空心钢球的内径约为.【例 2】表面积为的球，其内接正四棱柱的高是，求这个正四棱柱的表面积.解：设球半径为，正四棱柱底面边长为，则作轴截面如图，，，又 ，∴，∴，∴，∴.【例 3】（04 年辽宁卷.10）设 A、B、C、D 是球面上的四个点，且在同一平面内 ，AB=BC=CD=DA=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（ ）.A．B．C．D．【解】由已知可得，A、B、C、D 在球的一个小圆上. AB=BC=CD=DA=3， ∴ 四边形为正方形. ∴ 小圆半径. 由得，解得.∴ 球的体积. 所以选 A.点评：解答球体中相关计算，一定要牢记球的截面性质，体积和表面积公式.【例 4】推导球的表面积公式.解：设球的半径为，我们把球面任意分割为一些“小球面片”，它们的面积分别用表示，则球的表面积.以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”的体积和等于求的体积 ，这些“小锥体”可近似地看成棱锥，“小锥体”的底面积可近似地等于“小锥体”的底面积，球的半径近似地等于小棱锥的高.因此，第 个小棱锥的体积，当“小锥体”的底面 非常小时，“小锥体”的底面几乎是“平的”，于是球的体积为：，又 ，且， ∴可得.又 ，∴， ∴即为球的表面积公式点评：我们也可以类似以上极限分割，利用球的表面积公式推导球的体积公式. 若把半球中垂直于底面的半径作等分，经过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成层，每一层都近似于一个圆柱形的“薄圆片”，这些“薄圆片”的体积之和就是半球的体积. 由于“薄圆片”近似于圆柱形状， 它的体积近似于相应的圆柱的体积，从而把半球的体积化归为无限个圆柱的体积之和. 探究的关键都是先极限分割，然后求和.第 7 练 §1.3.2球的体积和表面 积五．目标检测：（一）基础达标1．正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ）. A. B. C. D. 2．设正方体的全面积为，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是（ ）. A. B. C. ...
