第2讲直线与圆锥曲线的位置关系(限时:45分钟)【选题明细表】知识点、方法题号位置关系1,12,13弦长与面积2,3,4,5,6,8,9,10,11轨迹问题7,14重点把关1.直线y=kx-k+1与椭圆+=1的位置关系为(A)(A)相交(B)相切(C)相离(D)不确定解析:直线y=kx-k+1,即y-1=k(x-1),恒过点A(1,1).因为+<1,所以点A在椭圆内,故直线与椭圆相交,选A.2.已知AB是抛物线y2=2x的一条焦点弦,|AB|=4,则AB中点C的横坐标是(C)(A)2(B)(C)(D)解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+p=4,又p=1,所以x1+x2=3,所以点C的横坐标是=.3.直线y=x与椭圆+y2=1相交于A,B两点,F为右焦点,则△FAB的面积为(B)(A)2(B)(C)(D)解析:由解得A(,),B(-,-).故|AB|=|-(-)|=.而F(,0),点F到直线y=x的距离d==.故△FAB的面积S=|AB|×d=××=.故选B.4.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的横坐标为3,则该抛物线的准线方程为(C)(A)x=1(B)x=2(C)x=-1(D)x=-2解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=-(x-),与抛物线方程联立,消去y整理得x2-3px+=0,可得x1+x2=3p.根据中点坐标公式,有=3,p=2,因此抛物线的准线方程为x=-1.故选C.5.已知椭圆+=1以及椭圆内一点P(4,2),则以P为中点的弦所在直线的斜率为(B)(A)(B)-(C)2(D)-2解析:设弦的端点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8,y1+y2=4,两式相减,得+=0,所以=-,所以k==-.故选B.6.(2016·广西质检)过点P(-2,0)的直线与抛物线C:y2=4x相交于A,B两点,且|PA|=|AB|,则点A到抛物线C的焦点的距离为(A)(A)(B)(C)(D)2解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),分别过A,B作直线x=-2的垂线,垂足分别为D,E.因为|PA|=|AB|,所以又得x1=,则点A到抛物线C的焦点的距离为1+=.选A.7.已知圆的方程为x2+y2=4,若抛物线过点A(-1,0),B(1,0)且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点轨迹方程是.解析:设抛物线焦点为F,过A,B,O作准线的垂线AA1,BB1,OO1,则|AA1|+|BB1|=2|OO1|=4,由抛物线定义得|AA1|+|BB1|=|FA|+|FB|,所以|FA|+|FB|=4,故F点的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点).答案:+=1(y≠0)8.过抛物线C:y2=4x的焦点F作直线l交抛物线C于A,B两点,若A到抛物线的准线的距离为4,则|AB|=.解析:设A(xA,yA),B(xB,yB),因为y2=4x,所以抛物线的准线为x=-1,F(1,0),又A到抛物线准线的距离为4,所以xA+1=4,所以xA=3,因为xAxB==1,所以xB=,所以|AB|=xA+xB+p=3++2=.答案:9.(2016·湖南长沙一模)已知椭圆C1:+=1(a>b>0)的顶点到直线l1:y=x的距离分别为,.(1)求C1的标准方程;(2)设平行于l1的直线l交C1于A,B两点,若以AB为直径的圆恰过坐标原点O,求直线l的方程.解:(1)由直线l1的方程知,直线l1与两坐标轴的夹角均为45°,故长轴端点到直线l1的距离为,短轴端点到直线l1的距离为,求得a=2,b=1.所以C1的标准方程为+y2=1.(2)依题意设直线l:y=x+t(t≠0)由得5x2+8tx+4t2-4=0,判别式Δ=64t2-16×5(t2-1)>0解得-
