第3讲圆锥曲线的综合问题(限时:45分钟)【选题明细表】知识点、方法题号圆与圆锥曲线综合问题1定点、定值问题3,4探索性问题3最值与范围问题2,41.(2016·广东韶关调研)已知椭圆C:+=1(a>b>0),它的一个焦点为F1(-1,0),且经过点M(-1,).(1)求椭圆C的方程;(2)已知圆的方程是x2+y2=a2+b2,过圆上任一点P作椭圆C的两条切线l1与l2,求证l1⊥l2.(1)解:一个焦点为F2(1,0),则2a=|MF1|+|MF2|=+=2>2,所以a=,所以b2=a2-c2=3-1=2,所以椭圆的标准方程是+=1.(2)证明:设P(x0,y0),若过点P的切线斜率都存在,设其方程为y-y0=k(x-x0),由得(2+3k2)x2+6k(y0-kx0)x+3(kx0-y0)2-6=0,因为直线与椭圆相切,所以Δ=[6k(y0-kx0)]2-4(2+3k2)[3(kx0-y0)2-6]=0,整理得(3-)k2+2x0y0k+2-=0,因为椭圆C的两条切线的斜率分别为k1,k2,所以k1·k2=,因为点P在圆O上,所以+=5,即=5-,所以k1·k2====-1,所以l1⊥l2,若过点P的切线有一条斜率不存在,不妨设该直线为l1,则l1的方程为x=±,l2的方程为y=±,所以l1⊥l2,综上,对任意满足题设的点P都有l1⊥l2.2.(2016·浙江卷,文19)如图,设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|-1.(1)求p的值;(2)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围.解:(1)由题意可得,抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x=-1的距离,由抛物线的定义得=1,即p=2.(2)由(1)得,抛物线方程为y2=4x,F(1,0),可设A(t2,2t),t≠0,t≠±1.因为AF不垂直于y轴,可设直线AF:x=sy+1(s≠0),由消去x得y2-4sy-4=0,故y1y2=-4,所以B(,-).又直线AB的斜率为,故直线FN的斜率为-.从而得直线FN:y=-(x-1),又直线BN:y=-.所以N(,-).设M(m,0),由A,M,N三点共线得=,于是m=.所以m<0或m>2.经检验,m<0或m>2满足题意.综上,点M的横坐标的取值范围是(-∞,0)∪(2,+∞).3.(2016·山西四校联考)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,以原点O为圆心,椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线2x-y+6=0相切.(1)求椭圆C的标准方程;(2)已知点A,B为动直线y=k(x-2)(k≠0)与椭圆C的两个交点,问:在x轴上是否存在定点E,使得+·为定值?若存在,试求出点E的坐标和定值;若不存在,请说明理由.解:(1)由e=得=,即c=a,①又以原点O为圆心,椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2+y2=a2,且与直线2x-y+6=0相切,所以a==,代入①得c=2,所以b2=a2-c2=2.所以椭圆C的标准方程为+=1.(2)由得(1+3k2)x2-12k2x+12k2-6=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=,x1x2=,根据题意,假设x轴上存在定点E(m,0),使得+·=(+)·=·为定值.则·=(x1-m,y1)·(x2-m,y2)=(x1-m)(x2-m)+y1y2=(k2+1)x1x2-(2k2+m)(x1+x2)+4k2+m2=,要使上式为定值,即与k无关,3m2-12m+10=3(m2-6),得m=.此时,+·=m2-6=-,所以在x轴上存在定点E(,0)使得+·为定值,且定值为-.4.(2016·山东卷,文21)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的长轴长为4,焦距为2.(1)求椭圆C的方程;(2)过动点M(0,m)(m>0)的直线交x轴于点N,交C于点A,P(P在第一象限),且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q,延长QM交C于点B.①设直线PM,QM的斜率分别为k,k′,证明为定值;②求直线AB的斜率的最小值.解:(1)由题意知2a=4,2c=2,所以a=2,b==.所以椭圆C的方程为+=1.(2)①证明:设P(x0,y0)(x0>0,y0>0).由M(0,m),可得P(x0,2m),Q(x0,-2m).所以直线PM的斜率k==,直线QM的斜率k′==-.此时=-3.所以为定值-3.②解:设A(x1,y1),B(x2,y2).由①知直线PA的方程为y=kx+m,直线QB的方程为y=-3kx+m,联立整理得(2k2+1)x2+4mkx+2m2-4=0.由x1x0=,可得x1=,所以y1=kx1+m=+m,同理x2=,y2=+m.所以x2-x1=-=,y2-y1=+m--m=.所以kAB===(6k+).由m>0,x0>0,可知k>0,所以6k+≥2,等号当且仅当k=时取得.此时=,即m=,符合题意.所以直线AB的斜率的最小值为.(限时:45分钟)【选题明细表】知识点、方法题号圆与圆锥曲线的综合问题1定点、定值问题2探究性问题2,3最值范围问题1,41.(2016·湖北荆、荆、襄、宜八校联考)如图,已知椭圆+y2=1的四个顶点分别为A1,A2,B1,B2,左、右焦点分别为F1,F2,若圆C:(x-3)2+(y-3)2=r2(0
