高二数学上 第7章《放缩法证明“数列+不等式”》素材 沪教版

放缩法证明“数列+不等式”问题的两条途径 数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年命题的热点，解决这类问题常常用到放缩法。用放缩法解决“数列+不等式”问题通常有两条途径：一是先放缩再求和，二是先求和再放缩。1、 先放缩再求和例 1 （05 年湖北理）已知不等式],[log21131212 nn 其中 n 为不大于 2 的整数，][log 2 n 表 示 不 超 过n2log的 最 大 整 数 。 设 数 列  na的 各 项 为 正 且 满 足111),0(nnnannaabba)4,3,2(n，证明：][log222 nbban，5,4,3n分析：由条件11nnnannaa得：naann1111 naann1111 )2( n 111121naann …… 211112 aa以上各式两边分别相加得：21111111nnaan2111111nnban ][log2112 nb  )3( n =bnb2][log22 ][log222 nbban )3( n本题由题设条件直接进行放缩，然后求和，命题即得以证明。例 2 （04 全国三）已知数列}{na的前n 项和nS 满足：nnnaS)1(2， 1n用心 爱心 专心（1）写出数列}{na的前三项1a ，2a ，3a ；（2）求数列}{na的通项公式；（3）证明：对任意的整数4m，有8711154maaa分析：⑴由递推公式易求：a1=1,a2=0,a3=2；⑵ 由已知得：1112( 1)2( 1)nnnnnnnaSSaa  （n>1）化简得：1122( 1)nnnaa2)1(2)1(11nnnnaa,]32)1([232)1(11nnnnaa故数列{32)1(nna}是以321  a为首项, 公比为2的等比数列.故1)2)(31(32)1(nnna ∴22[2( 1) ]3nnna ∴数列{na }的通项公式为：22[2( 1) ]3nnna .⑶ 观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和。而左边=232451113111[]2 21212( 1)mmmaaa ，如果我们把上式中的分母中的1 去掉，就可利用等比数列的前 n 项公式求和，由于-1 与 1 交错出现，容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩，尝试知：32322121121121，43432121121121，因此，可将1212 保留，再将后面的项两两组合后放缩，即可求和。这里需要对m 进行分类讨论，（1）当m 为偶数)4(m时， maaa11154)11()11(11654mmaaaaa )...