高考数学一轮复习 不等式 第2课时 算术平均数与几何平均数教学案-人教版高三全册数学教学案

第 2 课时 算术平均数与几何平均数1．a>0，b>0 时，称 为 a，b 的算术平均数；称 为 a，b 的几何平均数．2．定理 1 如果 a、bR，那么 a2＋b2 2ab（当且仅当 时 取“＝”号）3．定理 2 如果 a、bR ，那么2ba ≥ （当且仅当 a＝b 时取“＝”号）即两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．已知 x、yR ，x＋y＝P，xy＝S. 有下列命题：(1) 如果 S 是定值，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y 有最小值 ．(2) 如果 P 是定值，那么当且仅当 x＝y 时，xy 有最大值 ．例 1．设 a、bR  ，试比较2ba ， ab ，222ba ，ba112的大小． 解： a、bR+，∴ba11 ≥2ab1即ba112≤ab ，当且仅当 a＝b 时等号成立．又42)2(222abbaba≤42222baba＝222ba  ∴2ba ≤222ba 当且仅当 a＝b 时等号成立． 而ab ≤2ba 于是ba112≤ab ≤2ba ≤222ba (当且仅当 a＝b 时取“＝”号)．说明：题中的ba112、 ab 、2ba 、222ba 分别叫做正数的调和平均数，几何平均数，算术平均数，平方平均数．也可取特殊值，得出它们的大小关系，然后再证明．变式训练 1：（1）设 ,aRb，已知命题:p ab ；命题222:22ababq ，则 p 是q 成立的 （ ）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解：B.解析： ab 是22222abab 等号成立的条件.1典型例题基础过关（2）若 , ,a b c 为△ABC 的三条边，且222,Sabcpabbcac，则（ ）A．2Sp B． 2pSp C． Sp D．2pSp解：D．解析：2222221()[()()() ]0,2SpabcabbcacabbcacSp ，又 222222222||,||,||,2,2,2abc bca acbaabbcbbccaaaccb∴2222(),2abcabbcacSp。（3）设 x > 0, y > 0,yxyxa1, yyxxb11， a 与 b 的大小关系（ ） A．a >b B．a 0）则盐水就变咸了，试根据这一事实提炼一个不等式 .解： mbmaba．解析:由盐的浓度变大得．例 2. 已知 a，b，x，y∈R+（a，b 为常数），1 ybx...