第 3 讲 圆锥曲线中的热点问题高考定位 1.圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一；2.以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题.对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求，并突出数学思想方法考查.真 题 感 悟1.(2015·全国Ⅰ卷)已知 M(x0，y0)是双曲线 C：－y2＝1 上的一点，F1，F2是 C 的两个焦点，若 MF1·MF2<0，则 y0的取值范围是( )A. B.C. D.解析 由题意 M 在双曲线 C：－y2＝1 上，则－y＝1，即 x＝2＋2y.由MF1·MF2<0，得(－－x0，－y0)·(－x0，－y0)＝x－3＋y＝3y－1<0，即－b>0)，四点 P1(1，1)，P2(0，1)，P3，P4中恰有三点在椭圆 C 上.(1)求 C 的方程；(2)设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A，B 两点.若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点.(1)解 由于点 P3，P4关于 y 轴对称，由题设知 C 必过 P3，P4.又由＋>＋知，椭圆 C 不经过点 P1，所以点 P2在椭圆 C 上.因此解得故 C 的方程为＋y2＝1.(2)证明 设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1，k2.如果直线 l 的斜率不存在，l 垂直于 x 轴.设 l：x＝m，A(m，yA)，B(m，－yA)，k1＋k2＝＋＝＝－1，得 m＝2，此时 l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足.从而可设 l：y＝kx＋m(m≠1).将 y＝kx＋m 代入＋y2＝1 得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.由题设可知 Δ＝16(4k2－m2＋1)>0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝－，x1x2＝.则 k1＋k2＝＋＝＋＝.由题设 k1＋k2＝－1，故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0.∴(2k＋1)·＋(m－1)·＝0.解之得 m＝－2k－1，此时 Δ＝32(m＋1)>0，方程有解，∴当且仅当 m>－1 时，Δ>0，∴直线 l 的方程为 y＝kx－2k－1，即 y＋1＝k(x－2).当 x＝2 时，y＝－1，所以 l 过定点(2，－1).考 点 整 合1.圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解.温馨提醒 圆锥曲线上点的坐标是有范围的，在涉及到求最值或范围问题时注意坐标范围的影响.2.定点、定值问题(1)定点问题：在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题.若得到了直线方程的点斜式：y－y0...
