第 1 讲 数系的扩充与复数的引入一、知识梳理1．复数的有关概念(1)复数的定义形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是 a，虚部是 b．(2)复数的分类复数 z＝a＋bi(a，b∈R)(3)复数相等a＋bi＝c＋di⇔a ＝ c 且 b ＝ d (a，b，c，d∈R)．(4)共轭复数a＋bi 与 c＋di 共轭⇔a ＝ c 且 b ＝－ d (a，b，c，d∈R)．(5)复数的模向量OZ的模叫做复数 z＝a＋bi 的模，记作| z | 或| a ＋ b i| ，即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，a，b∈R)．2．复数的几何意义(1)复数 z＝a＋bi复平面内的点 Z(a，b)(a，b∈R)．(2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量OZ．3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则① 加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝( a ＋ c ) ＋ ( b ＋ d ) i ；② 减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝( a － c ) ＋ ( b － d ) i ；③ 乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝( ac － bd ) ＋ ( ad ＋ bc ) i ；④ 除法：＝＝＝＋ i (c＋di≠0)．(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 z1，z2，z3∈C，有 z1＋z2＝z2＋ z 1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋ ( z 2＋ z 3)．常用结论1．三个易误点(1)两个虚数不能比较大小．(2)利用复数相等 a＋bi＝c＋di 列方程时，注意 a，b，c，d∈R 的前提条件．(3)注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如 ，若z1，z2∈C，z＋z＝0，就不能推出 z1＝z2＝0；z2<0 在复数范围内有可能成立．2．复数代数运算中常用的三个结论在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．(1)(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.(2)－b＋ai＝i(a＋bi)．(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N+.二、教材衍化1．设复数 z 满足＝i，则|z|＝________．解析：1＋z＝i(1－z)，z(1＋i)＝i－1，z＝＝＝i，所以|z|＝|i|＝1.答案：12．在复平面内，向量AB对应的复数是 2＋i，向量CB对应的复数是－1－3i，则向量CA对应的复数是________．解析：CA＝CB＋BA＝－1－3i＋(－2－i)＝－3－4i.答案：－3－4i3．若复数 z＝(x2－1)＋(x－1)i 为纯虚数，则实数 x 的值为________．解析：因为 z 为纯虚数，所以所以 x＝－1.答案：－1一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若 a∈C，则 a2≥0.( )...
