第 8 讲 离散型随机变量的均值与方差、正态分布一、知识梳理1．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量 X 的分布列为Xa1a2…arPp1p2…pr(1)均值：称 EX＝a1p1＋ a 2p2＋…＋ a rpr 为随机变量 X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)方差：DX＝E(X－EX)2＝∑ (ai－EX)2pi为随机变量 X 的方差，它刻画了随机变量 X与其均值 EX 的平均偏离程度．2．均值与方差的性质(a，b 为常数)3．超几何分布与二项分布的均值XX 服从参数为 N，M，n的超几何分布X～B(n，p)EXnp4．正态曲线的特点(1)曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交．(2)曲线是单峰的，它关于直线 x ＝ μ 对称．(3)曲线在 x＝μ 处达到峰值 .(4)曲线与 x 轴之间的面积为 1．(5)当 σ 一定时，曲线的位置由 μ 确定，曲线随着 μ 的变化而沿 x 轴平移．(6)当 μ 一定时，曲线的形状由 σ 确定．σ 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．常用结论均值与方差的七个常用性质若 Y＝aX＋b，其中 a，b 是常数，X 是随机变量，则(1)E k＝k，D k＝0，其中 k 为常数．(2)E(aX＋b)＝aE X＋b，D(aX＋b)＝a2DX．(3)E(X1＋X2)＝EX1＋EX2．(4)D X＝EX2－(EX)2.(5)若 X1，X2相互独立，则 E(X1·X2)＝EX1·EX2．(6)若 X 服从两点分布，则 EX＝p，DX＝p(1－p)．(7)若 X 服从二项分布，即 X～B(n，p)，则 EX＝np，DX＝np(1－p)．二、教材衍化1．已知 X 的分布列为X－101P设 Y＝2X＋3，则 EY＝________．解析：EX＝－＋＝－，EY＝E(2X＋3)＝2EX＋3＝－＋3＝.答案：2．甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量 X，Y，其分布列分别为：X0123P0.40.30.20.1Y012P0.30.50.2若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是________．解析：EX＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1.EY＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，因为 EY2c－1)＝P(X2c－1)＝P(X
