求实系数一元三次方程根的有用公式 在数学书籍或数学手册中，对一元三次方程求根公式的叙述都是沿用“卡丹公式”，即：对于一元三次方程： 设， 则它的三个根的表达式如下： 其中， 我们先用该公式解一个一元三次方程：。解： p= 9，q=6， T= 3，D= 18， 原方程的三个根为 这样求出的三个根的表达式有两个不妥之处： 其一、当时，方程有三个实根（下文给出证明），但这里的、、表达式不明确。 其二、当时，以及（如此例中的）违反了现行中等数学的表示法律规范，也不能具体地求出其值。 因此，用“卡丹公式”解出的一元三次方程的根，往往是不有用、不直观、不严密的。 下面我们推导一个有用的改进型求根公式。 实系数一元三次方程可写为 （1）令 ，代入（1）得 （2）其中，不失一般性，我们只要讨论实系数一元三次方程的求根公式即可。不妨设 p、q 均不为零，令 y=u+v （3）代入（2）得， （4）选择 u、v，使得，即 （5）代入（4）得， （6）将（5）式两边立方得， （7）联立（6）、（7）两式，得关于的方程组：， 且问题归结于上述方程组的求解。即求关于 t 的一元二次方程的两根、，设，，，又记的一个立方根为 ，则另两个立方根为，，其中，为 1 的两个立方虚根。以下分三种情形讨论：1）若，即 D>0，则、均为实数，可求得，，取，，在，组成的九个数中，有且只有下面三组满足，即 、 ；、；、，也就是满足， 方程（2）的根为，，，这是方程（2）有一个实根，两个共轭虚根，，其表达式就是前面给出的“卡丹公式”的形式，这里的根式及都是在实数意义下的。2）若，即时，可求得，取同理，可求得 方程（2）有三个实根，其中至少有两个相等的实根。3）若，即 D<0 时， ， p<0，，则、均为虚数，求出、并用三角式表示，就有，，其中 T，都是实数， 同理，其中，且取，，则显然，当且仅当取 ， ；，；，这三组时才满足，于是方程（2）得三个实根为，，，具体表示出来就为：其中 当时，方程（2）有三个实根。综上所述，实系数一元三次方程的求根公式如下：令，，，，1）当时，方程有一个实根和两个共轭虚根，2）当时，方程有三个实根，其中至少有两个相等的实根，， ，3）当时，方程有三个实根，，上面提供的公式，可以求出任意实系数一元三次方程的根的具体值，是有用性的。这里用以下几个解一元三次方程的实例来说明该公式的应用。例一、解...
