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绝对值的三角不等式典型例题

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绝对值三角不等式☆教学目标:1.理解绝对值的定义,理解不等式基本性质的推导过程;2.掌握定理 1 的两种证明思路及其几何意义; 3.理解绝对值三角不等式 ; 4.会用绝对值不等式解决一些简单问题。☆教学重点:定理 1 的证明及几何意义。☆教学难点:换元思想的渗透。☆教学过程:一、引入:证明一个含有绝对值的不等式成立,除了要应用一般不等式的基本性质之外,常常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质:(1) (2)(3) (4)请同学们思考一下,是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理实际上,性质和可以从正负数和零的乘法、除法法则直接推出;而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此,只要能够证明对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中讨论它的证明。现在请同学们讨论一个问题:设为实数,和哪个大显然,当且仅当时等号成立(即在时,等号成立。在时,等号不成立)。同样,当且仅当时,等号成立。含有绝对值的不等式的证明中,常常利用、及绝对值的和的性质。二、典型例题:例 1 、 证 明 ( 1 ), ( 2 )。证明(1)假如那么所以假如那么所以 ( 2 ) 根 据 ( 1 ) 的 结 果 , 有, 就 是 ,。 所以,。例 2、证明 。例 3、证明 。思考:如何利用数轴给出例 3 的几何解释( 设 A , B , C 为 数 轴 上 的 3 个 点 , 分 别 表 示 数 a , b , c , 则 线 段当且仅当 C 在 A,B 之间时,等号成立。这就是上面的例 3。特别的,取 c=0(即 C 为原点),就得到例 2 的后半部分。)探究:试利用绝对值的几何意义,给出不等式的几何解释定理 1 假如, 那么. 在上面不等式中,用向量分别替换实数, 则当不共线时, 由向量加法三角形法则: 向量构成三角形, 因此有|a+b|<|a|+|b| 其几何意义是什么含有绝对值的不等式常常相加减,得到较为复杂的不等式,这就需要利用例1,例 2 和例 3 的结果来证明。例 4、已知 ,求证 证明 (1),∴ (2)由(1),(2)得:例 5、已知 求证:。证明 ,∴,由例 1 及上式,。注意: 在推理比较简单时,我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法,只能用于不等号方向相同的不等式。四、巩固性练习:1、已知求证:。2、已知求证:。作业:习题 2、3、5绝对值三角不等式学案 ☆预习目标: 1.理解绝对值的定义,理解不等式基本性质的推导过程;2.了解定理...

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