第 1 章 线性空间与线性变换(详解)1-1 证:用表示 n 阶矩阵中除第行,第列得元素为 1 外,其余元素全为 0 得矩阵、用表示 n 阶矩阵中除第行,第列元素与第行第列元素为 1 外,其余元素全为 0 得矩阵、 显然,,都就是对称矩阵,有个、不难证明,就是线性无关得,且任何一个对称矩阵都可用这 n+=个矩阵线性表示,此即对称矩阵组成维线性空间、同样可证所有 n 阶反对称矩阵组成得线性空间得维数为、评注:欲证一个集合在加法与数乘两种运算下就是一个维线性空间,只需找出个向量线性无关,并且集合中任何一个向量都可以用这个向量线性表示即可、1-2 解: 解出即可、1-3 解:方法一 设即故于就是解之得即在下得坐标为、方法二 应用同构得概念,就是一个四维空间,并且可将矩阵瞧做,可瞧做、于就是有因此在下得坐标为、1-4 解:证:设即于就是解之得故线性无关、设于就是解之得即为所求坐标、1-5 解:方法一 (用线性空间理论计算)又由于于就是在基下得坐标为方法二 将根据幂级数公式按展开可得因此在基下得坐标为、评注:根据向量坐标定义计算,第二种方法比第一种方法更简单一些、1-6 解:① 设将与代入上式得故过渡矩阵② 设将坐标代入上式后整理得评注:只需将代入过渡矩阵得定义计算出、1-7 解:因为由于秩,且就是向量得一个极大线性无关组,所以与空间得维数就是 3,基为、方法一 设,于就是由交空间定义可知解之得为任意数于就是很显然所以交空间得维数为 1,基为、方法二 不难知其中、又也就是线性方程组得解空间、就是线性方程组得解空间,所以所求得交空间就就是线性方程组得解空间,容易求出其基础解系为,所以交空间得维数为 1,基为、评注:本题有几个知识点就是很重要得、得基底就就是得极大线性无关组、维数等于秩、、方法一得思路,求交就就是求向量,既可由线性表示,又可由线性表示得那部分向量、方法二就是借用“两个齐次线性方程组解空间得交空间就就是联立方程组得解空间”,将本题已知条件改造为齐次线性方程组来求解、1-8 解:(1):解出方程组得基础解系,即就是得基,解出方程组得基础解系,即就是得基;(2): 解出方程组得基础解系,即为得基;(3):设,则得极大无关组即就是得基、1-9 解:仿上题解、1-10 解: 仿上题解、1-11 证:设 ①用从左侧成①式两端,由可得因为,所以,代入①可得 ②用从左侧乘②式两端,由可得,继续下去,可得,于就是线性无关、1-12 解:由 1-11 可知,个向量线性无关,它就是得一个基、又由所以在下矩阵表示为阶...
