第四讲 最大公约数和最小公倍数 本讲重点解决与最大公约数和最小公倍数有关得另一类问题——有关两个自然数、它们得最大公约数、最小公倍数之间得相互关系得问题。 定理１ 两个自然数分别除以它们得最大公约数，所得得商互质、即假如（a,ｂ)=d,那么（a÷d,ｂ÷d）=1。 证明:设 a÷d=a1,b÷d=b1,那么 a＝a1ｄ，b=b1d。 假设（a １，b1）≠1，可设（a1，b １）＝ｍ（m＞1),于是有 a1=a2m,b1＝ｂ 2m、(a2,b2是整数） 所以ａ＝ａ１ｄ=ａ２md,b=b1ｄ=b2md。 那么 md 是 a、ｂ得公约数。 又 m〉1， m ｄ〉d. 这就与 d 是 a、b 得最大公约数相矛盾、因此，（ａ 1，b １)≠1 得假设是不正确得、所以只能是(ａ 1，ｂ 1）=１,也就是（a÷d,b÷ｄ)＝1。 定理２ 两个数得最小公倍数与最大公约数得乘积等于这两个数得乘积、（证明略） 定理 3 两个数得公约数一定是这两个数得最大公约数得约数、(证明略） 下面我们就应用这些知识来解决一些具体得问题。例 1 甲数是 36，甲、乙两数得最大公约数是 4，最小公倍数是 288,求乙数、 解法１：由甲数×乙数=甲、乙两数得最大公约数×两数得最小公倍数，可得 36×乙数=4×2 ８８， 乙数=４×288÷３ 6， 解出 乙数=32。 答：乙数是 32. 解法 2:因为甲、乙两数得最大公约数为４，则甲数=4×9,设乙数=４×ｂ 1,且（b １,9）=1。 因为甲、乙两数得最小公倍数是 288， 则 2 ８ 8＝4×9×ｂ 1, b1＝288÷36， 解出 b １＝8。 所以，乙数=4×8=32. 答：乙数是 32。例 2 已知两数得最大公约数是 21，最小公倍数是 126,求这两个数得和是多少？ 解:要求这两个数得和，我们可先求出这两个数各是多少、设这两个数为 a、b，a
